4、设A满足3E+A-A²=0，则A^-1=(1)/(3)(A-E).

考查要点：本题主要考查矩阵方程的变形与逆矩阵的求解方法，需要学生掌握矩阵运算的基本规则及逆矩阵的验证技巧。

解题核心思路：

1. 方程变形：将原方程整理为关于$A^2$和$A$的表达式，便于后续操作。
2. 引入逆矩阵：通过对方程两边左乘$A^{-1}$，将高阶项降维，逐步解出$A^{-1}$的表达式。
3. 验证结果：通过矩阵乘法验证所求逆矩阵是否满足$A \cdot A^{-1} = E$，确保答案正确性。

破题关键点：

• 正确移项：将原方程整理为$A^2 - A = 3E$，为后续操作奠定基础。
• 合理利用逆矩阵性质：通过左乘$A^{-1}$消去高阶项，直接关联$A^{-1}$与$A$的关系。

步骤1：整理原方程
原方程为：
$3E + A - A^2 = 0$
移项得：
$A^2 - A = 3E$

步骤2：引入逆矩阵
假设$A$可逆，对等式两边左乘$A^{-1}$：
$A^{-1}(A^2 - A) = A^{-1} \cdot 3E$
展开左边：
$A^{-1}A^2 - A^{-1}A = A - E$
右边化简为：
$3A^{-1}$
因此得到：
$A - E = 3A^{-1}$

步骤3：解出$A^{-1}$
将等式两边除以3：
$A^{-1} = \frac{1}{3}(A - E)$

步骤4：验证结果
计算$A \cdot \frac{1}{3}(A - E)$：
$A \cdot \frac{1}{3}(A - E) = \frac{1}{3}(A^2 - A)$
根据原方程$A^2 - A = 3E$，代入得：
$\frac{1}{3} \cdot 3E = E$
验证成立，说明结果正确。