题目
给定一组样本观测值 X_1, X_2, ..., X_9 且得 sum_(i=1)^9 X_i = 45, sum_(i=1)^9 X_i^2 = 285。 则样本方差 S^2 的观测值为 (）A. 7.5B. 60C. (20)/(3)D. (65)/(2)
给定一组样本观测值 $X_1, X_2, \cdots, X_9$ 且得 $\sum_{i=1}^{9} X_i = 45, \sum_{i=1}^{9} X_i^2 = 285$。 则样本方差 $S^2$ 的观测值为 (）
A. 7.5
B. 60
C. $\frac{20}{3}$
D. $\frac{65}{2}$
题目解答
答案
A. 7.5
解析
步骤 1：计算样本均值
样本均值 $\overline{X}$ 可以通过所有观测值的总和除以观测值的数量来计算。给定 $\sum_{i=1}^{9} X_i = 45$，样本数量为 9，因此 $\overline{X} = \frac{45}{9} = 5$。
步骤 2：应用样本方差公式
样本方差 $S^2$ 可以通过以下公式计算：\[ S^2 = \frac{1}{n-1} \left[ \sum_{i=1}^{n} X_i^2 - n \overline{X}^2 \right] \] 其中，$n$ 是样本数量，$\overline{X}$ 是样本均值，$\sum_{i=1}^{n} X_i^2$ 是观测值平方的总和。
步骤 3：代入已知条件计算样本方差
代入已知条件 $\sum_{i=1}^{9} X_i^2 = 285$，$n = 9$，$\overline{X} = 5$，得到：\[ S^2 = \frac{1}{8} \left[ 285 - 9 \times 5^2 \right] = \frac{1}{8} \left[ 285 - 225 \right] = \frac{60}{8} = 7.5 \]
样本均值 $\overline{X}$ 可以通过所有观测值的总和除以观测值的数量来计算。给定 $\sum_{i=1}^{9} X_i = 45$，样本数量为 9，因此 $\overline{X} = \frac{45}{9} = 5$。
步骤 2：应用样本方差公式
样本方差 $S^2$ 可以通过以下公式计算：\[ S^2 = \frac{1}{n-1} \left[ \sum_{i=1}^{n} X_i^2 - n \overline{X}^2 \right] \] 其中，$n$ 是样本数量，$\overline{X}$ 是样本均值，$\sum_{i=1}^{n} X_i^2$ 是观测值平方的总和。
步骤 3：代入已知条件计算样本方差
代入已知条件 $\sum_{i=1}^{9} X_i^2 = 285$，$n = 9$，$\overline{X} = 5$，得到：\[ S^2 = \frac{1}{8} \left[ 285 - 9 \times 5^2 \right] = \frac{1}{8} \left[ 285 - 225 \right] = \frac{60}{8} = 7.5 \]