1.[单选题]在三次独立试验中，事件A至少出现一次的概率为(37)/(64)，求四次独立试验中，事件A出现一次的概率()。A. (1)/(64)B. (27)/(64)C. (27)/(108)D. (1)/(108)

本题主要考查独立重复试验的概率计算。解题的关键思路是先根据三次独立试验中事件$A$至少出现一次的概率求出事件$A$在单次试验中发生的概率$p$，再利用独立重复试验的概率公式计算四次独立试验中事件$A$出现一次的概率。

1. 计算事件$A$在单次试验中发生的概率$p$：
   • 已知三次独立试验中事件$A$至少出现一次的概率为$\frac{37}{64}$，因为“事件$A$至少出现一次”的对立事件是“事件$A$一次都不出现”，根据对立事件概率之和为$1$，所以三次试验中事件$A$都不发生的概率为$1 - \frac{37}{64}$。
   • 计算$1 - \frac{37}{64}$：
     $1 - \frac{37}{64}=\frac{64}{64}-\frac{37}{64}=\frac{64 - 37}{64}=\frac{27}{64}$
   • 设事件$A$在单次试验中发生的概率为$p$，那么事件$A$在单次试验中不发生的概率为$1 - p$。由于三次试验是相互独立的，所以三次试验中事件$A$都不发生的概率为$(1 - p)^3$，则有$(1 - p)^3 = \frac{27}{64}$。
   • 对$(1 - p)^3 = \frac{27}{64}$两边同时开立方，可得$1 - p = \sqrt[3]{\frac{27}{64}}$。
     因为$\sqrt[3]{27}=3$，$\sqrt[3]{64}=4$，所以$1 - p = \frac{3}{4}$。
   • 求解$p$：
     $p = 1 - \frac{3}{4}=\frac{4}{4}-\frac{3}{4}=\frac{4 - 3}{4}=\frac{1}{4}$
2. 计算四次独立试验中事件$A$出现一次的概率：
   独立重复试验的概率公式为$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1 - p)^{n - k}$，其中$n$是试验次数，$k$是指定事件发生的次数，$p$是每次试验中指定事件发生的概率。
   在本题中，$n = 4$（四次独立试验），$k = 1$（事件$A$出现一次），$p = \frac{1}{4}$，$1 - p = 1 - \frac{1}{4}=\frac{3}{4}$，则四次独立试验中事件$A$出现一次的概率为：
   $P(X = 1)=\binom{4}{1}p^1(1 - p)^{4 - 1}$
   根据组合数公式$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n - k)!}$，可得$\binom{4}{1}=\frac{4!}{1!(4 - 1)!}=\frac{4!}{1!3!}=\frac{4\times3!}{3!}= 4$。
   将$\binom{4}{1}= 4$，$p = \frac{1}{4}$，$1 - p = \frac{3}{4}$代入$P(X = 1)=\binom{4}{1}p^1(1 - p)^{4 - 1}$可得：
   $P(X = 1)=4\times\frac{1}{4}\times(\frac{3}{4})^3$
   先计算$(\frac{3}{4})^3=\frac{3^3}{4^3}=\frac{27}{64}$，则$4\times\frac{1}{4}\times(\frac{3}{4})^3 = 4\times\frac{1}{4}\times\frac{27}{64}$。
   $4\times\frac{1}{4}=1$，所以$4\times\frac{1}{4}\times\frac{27}{64}=1\times\frac{27}{64}=\frac{27}{64}$。