3.随机测量了 300名正常男性的身高和体重,算得身高 x1 (cm)为 .5pm 6.7 ,体重 _(2)(kg)-|||-为 .2pm 5.6 。-|||-(1)试比较身高和体重的离散程度大小。-|||-(2)分别计算身高和体重的 95%正常值范围。-|||-(3)现有一名男性测得身高为180cm,体重为80kg,试对该名男性的身高、体重进行判断

$###$题思路

$(1)$比较身高和体重的离散程度

离散程度通常用标准差(Standard Deviation)来衡量。标准差越小，数据的离散程度越小；标准差越大，数据的离散程度越大。

• 身高 $x_1$ 的标准差为 $6.7$ cm
• 体重 $x_2$ 的标准差为 $5.6$ kg

由于 $6.7 > 5.6$，所以身高 $x_1$ 的离散程度大于体重 $x_2$ 的离散程度。

$(2)$计算身高和体重的 $95\%$ 正常值范围

正常值范围通常使用均值加减 $1.96$ 倍标准差来计算，即 $95\%$ 的数据应该在这个范围内。

• 身高 $x_1$ 的 $95\%$ 正常值范围：
  $169.5 \pm 1.96 \times 6.7$
  计算：
  $169.5 \pm 13.132$
  所以，身高 $x_1$ 的 $95\%$ 正常值范围为 $156.368$ cm 到 $182.632$ cm。

• 体重 $x_2$ 的 $95\%$ 正常值范围：
  $71.2 \pm 1.96 \times 5.6$
  计算：
  $71.2 \pm 10.976$
  所以，体重 $x_2$ 的 $95\%$ 正常值范围为 $60.224$ kg 到 $82.176$ kg。

$(3)$判断身高和体重是否正常

• 身高 $180$ cm 在 $156.368$ cm 到 $182.632$ cm 的范围内，所以身高是正常的。
• 体重 $80$ kg 在 $60.224$ kg 到 $82.176$ kg 的范围内，所以体重也是正常的。

$###$结论

• 身高的离散程度大于体重的离散程度。
• 身高和体重的 $95\%$ 正常值范围分别为 $156.368$ cm 到 $182.632$ cm 和 $60.224$ kg 到 $82.176$ kg。
• 该名男性的身高和体重都在正常值范围内，所以都是正常的。