设随机变量X与Y独立，且X服从均值为1、标准差（均方差）为sqrt(2)的正态分布，而Y服从标准正态分布.试求随机变量Z=2X-Y+3的概率密度函数.
设随机变量$X$与$Y$独立，且$X$服从均值为$1$、标准差（均方差）为$sqrt{2}$的正态分布，而$Y$服从标准正态分布.
试求随机变量$Z=2X-Y+3$的概率密度函数.
题目解答
答案
由已知$X$服从均值为$1$、标准差（均方差）为$sqrt{2}$的正态分布，
所以$dfrac{X-1}{sqrt{2}}sim Nleft(0,1right)$，$Eleft(Xright)=1$，$Dleft(Xright)=2$；
由$Y$服从标准正态分布，
所以：$Ysim Nleft(0,1right)$，$Eleft(Yright)=0$，$Dleft(Yright)=1$；
又$X$、$Y$相互独立，由
正态分布的可加性和正态分布的线性函数依然服从正态，
得：$Z=2X-Y+3$依然服从正态分布，
由期望和方差的性质，可算得：
$Eleft(Zright)=2Eleft(Xright)-Eleft(Yright)+3=5$，
$Dleft(Zright)=4Dleft(Xright)+Dleft(Yright)=9$，
所以：$Zsim Nleft(5,9right)$，
即得$Z$的密度函数为：$dfrac{1}{3sqrt{2}pi }e^{-frac{left(z-5right)^{2}}{18}}$.
解析
考查要点：本题主要考查正态分布的线性组合性质及独立正态变量的可加性。
解题核心思路：
- 判断分布类型：利用正态分布的线性组合仍为正态分布的性质，确定$Z$服从正态分布。
- 计算均值与方差：通过期望和方差的性质，分别计算$Z$的均值$\mu_Z$和方差$\sigma_Z^2$。
- 写出概率密度函数：根据正态分布的均值和方差，代入标准正态分布的密度函数形式即可。
破题关键点：
- 独立性保证方差可加：$X$与$Y$独立，因此$Z$的方差为各分量方差的线性组合之和。
- 常数项不影响方差：$+3$仅影响均值，不影响方差。
步骤1：确定$Z$的分布类型
由于$X \sim N(1, 2)$，$Y \sim N(0, 1)$，且$X$与$Y$独立，根据正态分布的线性组合性质，$Z = 2X - Y + 3$仍服从正态分布。
步骤2：计算$Z$的均值
根据期望的线性性质：
$\begin{aligned}E(Z) &= E(2X - Y + 3) \\&= 2E(X) - E(Y) + 3 \\&= 2 \times 1 - 0 + 3 \\&= 5.\end{aligned}$
步骤3：计算$Z$的方差
根据方差的性质（独立变量方差可加）：
$\begin{aligned}D(Z) &= D(2X - Y + 3) \\&= D(2X) + D(-Y) + D(3) \\&= 2^2 D(X) + (-1)^2 D(Y) + 0 \\&= 4 \times 2 + 1 \times 1 \\&= 8 + 1 = 9.\end{aligned}$
步骤4：写出概率密度函数
$Z \sim N(5, 9)$，其概率密度函数为：
$f_Z(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot 3} \exp\left( -\frac{(z - 5)^2}{2 \times 3^2} \right) = \frac{1}{3\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(z - 5)^2}{18}}.$