题目

写出下列随机试验的样本空间:(1)将一枚硬币抛掷十次,观察正面出现的次数; (2)在单位圆内任取一点,记录该点的坐标;(3)从红,蓝,白三个球中随机取出两个,观察取球的情况; (4)从红,蓝,白三个球中有放回地先后随机取出两个,观察取球的情况; (5)从红,蓝,白三个球中无放回地先后随机取出两个,观察取球的情况.

写出下列随机试验的样本空间:

(1)将一枚硬币抛掷十次,观察正面出现的次数; 

(2)在单位圆内任取一点,记录该点的坐标;

(3)从红,蓝,白三个球中随机取出两个,观察取球的情况; 

(4)从红,蓝,白三个球中有放回地先后随机取出两个,观察取球的情况; 

(5)从红,蓝,白三个球中无放回地先后随机取出两个,观察取球的情况.

题目解答

答案

(1) 抛掷一枚硬币十次的样本空间S1为所有可能出现的正面次数，可以是0次、1次、...、直到10次。

(2) 单位圆内任取一点的样本空间S2为所有可能的坐标点(x, y)，其中。

(3) 从红、蓝、白三个球中随机取出两个球的样本空间S3为所有可能的取球组合，即：

(4) 从红、蓝、白三个球中有放回地先后随机取出两个球的样本空间S4为所有可能的取球序列，每个球每次被取出的可能性是独立的。

(5) 从红、蓝、白三个球中无放回地先后随机取出两个球的样本空间S5为所有可能的取球序列，考虑到取球的顺序。

注意，此处与(3)不同，因为无放回抽样时，顺序是重要的，例如第一次取红球后取到蓝球与第一次取蓝球后取到红球被视为两种不同的情况。

解析

  1. 样本空间是随机试验所有可能结果的集合，需根据试验条件（如是否放回、是否考虑顺序等）确定。
  2. 关键区分点：
    • (1) 重复独立试验次数固定，结果为成功次数；
    • (2) 几何分布问题，需描述所有可能点的坐标；
    • (3)-(5) 组合与排列的区别：组合不考虑顺序，排列考虑顺序；有放回允许重复，无放回不允许重复。

第（1）题

试验特点

抛硬币10次，每次结果独立，正面出现次数为$0$到$10$之间的整数。

样本空间

所有可能的正面次数：
$S_1 = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

第（2）题

试验特点

在单位圆$x^2 + y^2 \leq 1$内任取一点，坐标$(x, y)$满足该不等式。

样本空间

所有满足条件的点：
$S_2 = \{(x, y) \mid x^2 + y^2 \leq 1\}$

第（3）题

试验特点

从红、蓝、白中取2个，不考虑顺序，无放回。

样本空间

所有组合（共3种）：
$S_3 = \{\text{红-蓝}, \text{红-白}, \text{蓝-白}\}$

第（4）题

试验特点

从红、蓝、白中取2个，考虑顺序，有放回（允许重复）。

样本空间

所有排列（共9种）：
$S_4 = \{\text{红-红}, \text{红-蓝}, \text{红-白}, \text{蓝-红}, \text{蓝-蓝}, \text{蓝-白}, \text{白-红}, \text{白-蓝}, \text{白-白}\}$

第（5）题

试验特点

从红、蓝、白中取2个，考虑顺序，无放回（不重复）。

样本空间

所有排列（共6种）：
$S_5 = \{\text{红-蓝}, \text{红-白}, \text{蓝-红}, \text{蓝-白}, \text{白-红}, \text{白-蓝}\}$