题目
设一批零件的长度服从正态分布X sim N(mu,4)，其中mu未知，现从中随机抽取16个零件，测得样本均值为overline(x)=10(cm)，则mu的置信度为0.90的置信区间为________。A. (10 - (1)/(2)u_(0.05), 10 + (1)/(2)u_(0.05))；B. (10 - (1)/(2)u_(0.1), 10 + (1)/(2)u_(0.1))；C. (10 - (2)/(sqrt(15))u_(0.05), 10 + (2)/(sqrt(15))u_(0.05))；D. (10 - (2)/(sqrt(15))u_(0.1), 10 + (2)/(sqrt(15))u_(0.1))。
设一批零件的长度服从正态分布$X \sim N(\mu,4)$，其中$\mu$未知，现从中随机抽取16个零件，测得样本均值为$\overline{x}=10(cm)$，则$\mu$的置信度为0.90的置信区间为________。
A. $(10 - \frac{1}{2}u_{0.05}, 10 + \frac{1}{2}u_{0.05})$；
B. $(10 - \frac{1}{2}u_{0.1}, 10 + \frac{1}{2}u_{0.1})$；
C. $(10 - \frac{2}{\sqrt{15}}u_{0.05}, 10 + \frac{2}{\sqrt{15}}u_{0.05})$；
D. $(10 - \frac{2}{\sqrt{15}}u_{0.1}, 10 + \frac{2}{\sqrt{15}}u_{0.1})$。
题目解答
答案
A. $(10 - \frac{1}{2}u_{0.05}, 10 + \frac{1}{2}u_{0.05})$；
解析
步骤 1：确定已知条件
已知零件长度 $X \sim N(\mu, 4)$，其中 $\mu$ 未知，样本均值 $\overline{x} = 10$，样本量 $n = 16$。置信度为 0.90，即 $\alpha = 0.10$，双侧检验时 $\alpha/2 = 0.05$。
步骤 2：计算标准差和样本标准差
由于总体方差已知，$\sigma^2 = 4$，则总体标准差 $\sigma = \sqrt{4} = 2$。样本标准差 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{2}{\sqrt{16}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$。
步骤 3：计算置信区间
置信区间公式为： \[ \left( \overline{x} - u_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{x} + u_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) \] 代入已知值： \[ \left( 10 - u_{0.05} \times \frac{1}{2}, 10 + u_{0.05} \times \frac{1}{2} \right) \]
已知零件长度 $X \sim N(\mu, 4)$，其中 $\mu$ 未知，样本均值 $\overline{x} = 10$，样本量 $n = 16$。置信度为 0.90，即 $\alpha = 0.10$，双侧检验时 $\alpha/2 = 0.05$。
步骤 2：计算标准差和样本标准差
由于总体方差已知，$\sigma^2 = 4$，则总体标准差 $\sigma = \sqrt{4} = 2$。样本标准差 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{2}{\sqrt{16}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$。
步骤 3：计算置信区间
置信区间公式为： \[ \left( \overline{x} - u_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{x} + u_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) \] 代入已知值： \[ \left( 10 - u_{0.05} \times \frac{1}{2}, 10 + u_{0.05} \times \frac{1}{2} \right) \]