[单选题]无穷大量与无穷小量-|||-变量 dfrac (1)(x)sin dfrac (1)(x) __-|||-bigcirc A.是 arrow 0 时的无穷小-|||-bigcirc B.是 arrow 0 时的无穷大-|||-bigcirc C.有界,但不是 arrow 0 时的无穷小-|||-bigcirc D.无界,但不是 arrow 0 时的无穷大

考查要点：本题主要考查变量在极限过程中的有界性、无穷小与无穷大的定义及判断。

解题核心思路：

1. 明确概念：无穷小指极限为0，无穷大指绝对值无限增大且无界，有界性指存在某个常数限制函数值范围。
2. 分析函数结构：$\dfrac{1}{x}\sin\dfrac{1}{x}$中，$\sin\dfrac{1}{x}$在$[-1,1]$之间振荡，$\dfrac{1}{x}$的绝对值无限增大。
3. 判断关键点：
   • 无界性：$\dfrac{1}{x}$的绝对值无界，$\sin\dfrac{1}{x}$的有界性无法抵消其影响。
   • 非无穷大：虽然绝对值可能无限增大，但存在某些路径（如$x = \dfrac{1}{n\pi}$）使函数值为0，不满足无穷大的严格条件。

步骤1：分析函数的有界性

当$x \to 0$时，$\dfrac{1}{x}$的绝对值无限增大，而$\sin\dfrac{1}{x}$的取值范围始终在$[-1,1]$之间。因此：
$\left|\dfrac{1}{x}\sin\dfrac{1}{x}\right| \leq \dfrac{1}{|x|}$
但$\dfrac{1}{|x|}$本身是无界的，因此$\dfrac{1}{x}\sin\dfrac{1}{x}$无界。

步骤2：判断是否为无穷大

若函数是无穷大，则对于任意$M > 0$，存在$\delta > 0$，当$0 < |x| < \delta$时，$\left|\dfrac{1}{x}\sin\dfrac{1}{x}\right| > M$。但存在路径（如$x = \dfrac{1}{n\pi}$，$n \in \mathbb{N}$）使得：
$\dfrac{1}{x}\sin\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{\dfrac{1}{n\pi}} \cdot \sin(n\pi) = n\pi \cdot 0 = 0$
此时函数值为0，不满足无穷大的条件，因此不是无穷大。

步骤3：排除其他选项

• 选项A（无穷小）：若极限为0，则$\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x}\sin\dfrac{1}{x} = 0$。但取$x = \dfrac{2}{(2n+1)\pi}$时：
  $\dfrac{1}{x}\sin\dfrac{1}{x} = \dfrac{(2n+1)\pi}{2} \cdot 1 \to +\infty$
  极限不存在，故不是无穷小。
• 选项B（无穷大）：已通过路径$x = \dfrac{1}{n\pi}$排除。
• 选项C（有界）：已证明函数无界。

综上，正确答案为D。