题目
两个戏院在竞争1000名观众，假定每个观众以完全随意的方式选择一个戏院，且观众之间选择戏院是彼此独立的，问每个戏院应该至少设有多少个座位才能保证因缺少座位而使观众离去的概率小于1%.(Phi(2.33)=0.99)第1空：
两个戏院在竞争1000名观众，假定每个观众以完全随意的方式选择一个戏院，且观众之间选择戏院是彼此独立的，问每个戏院应该至少设有多少个座位才能保证因缺少座位而使观众离去的概率小于1%.($\Phi(2.33)=0.99$)
第1空：
题目解答
答案
设 $ X $ 为选择第一个戏院的观众数，$ X $ 服从二项分布 $ B(1000, 0.5) $。期望 $ E(X) = 500 $，方差 $ D(X) = 250 $。
由中心极限定理，$ X $ 近似服从正态分布 $ N(500, 250) $。
求最小 $ k $ 使 $ P(X > k) < 0.01 $，即 $ P(X \leq k) > 0.99 $。
标准化得 $ P\left(Z \leq \frac{k - 500}{\sqrt{250}}\right) > 0.99 $，其中 $ Z $ 为标准正态变量。
查表得 $ P(Z \leq 2.33) \approx 0.99 $，故 $ \frac{k - 500}{\sqrt{250}} \geq 2.33 $。
解得 $ k \geq 500 + 2.33 \times \sqrt{250} \approx 536.91 $，取整数 $ k = 537 $。
**答案：** $\boxed{537}$
解析
步骤 1：定义随机变量
设 $ X $ 为选择第一个戏院的观众数，$ X $ 服从二项分布 $ B(1000, 0.5) $。期望 $ E(X) = 500 $，方差 $ D(X) = 250 $。
步骤 2：应用中心极限定理
由中心极限定理，$ X $ 近似服从正态分布 $ N(500, 250) $。
步骤 3：确定概率条件
求最小 $ k $ 使 $ P(X > k) < 0.01 $，即 $ P(X \leq k) > 0.99 $。
步骤 4：标准化
标准化得 $ P\left(Z \leq \frac{k - 500}{\sqrt{250}}\right) > 0.99 $，其中 $ Z $ 为标准正态变量。
步骤 5：查表
查表得 $ P(Z \leq 2.33) \approx 0.99 $，故 $ \frac{k - 500}{\sqrt{250}} \geq 2.33 $。
步骤 6：求解 $ k $
解得 $ k \geq 500 + 2.33 \times \sqrt{250} \approx 536.91 $，取整数 $ k = 537 $。
设 $ X $ 为选择第一个戏院的观众数，$ X $ 服从二项分布 $ B(1000, 0.5) $。期望 $ E(X) = 500 $，方差 $ D(X) = 250 $。
步骤 2：应用中心极限定理
由中心极限定理，$ X $ 近似服从正态分布 $ N(500, 250) $。
步骤 3：确定概率条件
求最小 $ k $ 使 $ P(X > k) < 0.01 $，即 $ P(X \leq k) > 0.99 $。
步骤 4：标准化
标准化得 $ P\left(Z \leq \frac{k - 500}{\sqrt{250}}\right) > 0.99 $，其中 $ Z $ 为标准正态变量。
步骤 5：查表
查表得 $ P(Z \leq 2.33) \approx 0.99 $，故 $ \frac{k - 500}{\sqrt{250}} \geq 2.33 $。
步骤 6：求解 $ k $
解得 $ k \geq 500 + 2.33 \times \sqrt{250} \approx 536.91 $，取整数 $ k = 537 $。