题目

6.（单选题，5.0分）设总体Xsim N(mu,sigma^2)，overline(X),S^2分别为样本均值和样本方差，总体方差sigma^2未知，则总体均值mu的置信度为1-alpha的置信区间为（）A. (overline(X)pm(S)/(sqrt(n))u_(1-(alpha)/(2)))B. (overline(X)pm(sigma)/(sqrt(n))u_(1-(alpha)/(2)))C. (overline(X)pm(S)/(sqrt(n))t_(1-(alpha)/(2))(n-1))D. (overline(X)pm(sigma)/(sqrt(n))t_(1-(alpha)/(2))(n-1))

6.（单选题，5.0分）设总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，$\overline{X},S^{2}$分别为样本均值和样本方差，总体方差$\sigma^{2}$未知，则总体均值$\mu$的置信度为$1-\alpha$的置信区间为（）

A. $\left(\overline{X}\pm\frac{S}{\sqrt{n}}u_{1-\frac{\alpha}{2}}\right)$

B. $\left(\overline{X}\pm\frac{\sigma}{\sqrt{n}}u_{1-\frac{\alpha}{2}}\right)$

C. $\left(\overline{X}\pm\frac{S}{\sqrt{n}}t_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)\right)$

D. $\left(\overline{X}\pm\frac{\sigma}{\sqrt{n}}t_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)\right)$

题目解答

答案

C. $\left(\overline{X}\pm\frac{S}{\sqrt{n}}t_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)\right)$

解析

本题考查正态总体均值的置信区间构造，关键在于区分总体方差已知和未知两种情况的不同处理方式。

核心知识点

对于正态总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，当总体方差 $\sigma^2$ 未知时，构造总体均值 $\mu$ 的置信区间需使用t分布，具体步骤如下：

  1. 样本均值 $\overline{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$，样本方差 $S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$ 是 $\sigma^2$ 的无偏估计。
  2. 统计量 $\frac{\overline{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$（t分布，自由度为 $n-1$）。
  3. 对置信度 $1-\alpha$，查t分布表得临界值 $t_{1-\alpha/2}(n-1)$，满足 $P\left(-t_{1-\alpha/2}(n-1) < \frac{\overline{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} < t_{1-\alpha/2}(n-1)\right) = 1-\alpha$。
  4. 解不等式得置信区间：$\left(\overline{X} \pm \frac{S}{\sqrt{n}}t_{1-\alpha/2}(n-1)\right)$。

选项分析

  • A：使用 $u$ 分布（标准正态），但 $\sigma^2$ 未知时不能用 $\sigma$，错误。
  • B：使用 $u$ 分布且用 $\sigma$，仅适用于 $\sigma^2$ 已知，错误。
  • C：使用t分布且用样本方差 $S$，符合 $\sigma^2$ 未知的情况，正确。
  • D：使用t分布但用 $\sigma$，矛盾（$\sigma^2$ 未知时无 $\sigma$），错误。