17 验收成箱包装的玻璃器皿,每箱24只装,统计资料表明,每箱最多有2只次品,-|||-且0、1和2件次品的箱各占80%、15%和5%,现在随意抽取一箱,随意检验其中4只,-|||-若未发现次品,则通过验收,否则要逐一检验并更换,试求:-|||-(1)一次通过验收的概率;-|||-(2)通过验收的箱中确实无次品的概率,

考查要点：本题主要考查条件概率和全概率公式的应用，涉及超几何分布的概率计算。

解题思路：

1. 第一问：计算一次通过验收的概率，需考虑箱子可能的次品数（0、1、2只），分别计算每种情况下通过验收的概率，再按箱子次品数的分布加权求和。
2. 第二问：已知通过验收的情况下，箱子确实无次品的概率，需用贝叶斯定理，结合第一问的结果进行计算。

破题关键：

• 全概率公式：将一次通过验收的概率分解为三种次品数情况下的概率之和。
• 超几何分布：计算从有限物品中抽取不放回时的组合概率。
• 贝叶斯定理：通过条件概率公式逆推后验概率。

第（1）题

目标：计算一次通过验收的概率，即抽到4只均为正品的概率。

情况1：箱子无次品（0只次品）

• 概率：$P(\text{0次品}) = 80\% = 0.8$
• 抽到4只均为正品的概率：$1$（因为无次品）

情况2：箱子有1只次品

• 概率：$P(\text{1次品}) = 15\% = 0.15$
• 抽到4只均为正品的概率：
  $\frac{C(23,4)}{C(24,4)} = \frac{23 \times 22 \times 21 \times 20}{24 \times 23 \times 22 \times 21} = \frac{20}{24} = \frac{5}{6} \approx 0.8333$

情况3：箱子有2只次品

• 概率：$P(\text{2次品}) = 5\% = 0.05$
• 抽到4只均为正品的概率：
  $\frac{C(22,4)}{C(24,4)} = \frac{7315}{10626} \approx 0.688$

全概率公式求和

$\begin{aligned}P(\text{通过}) &= 0.8 \times 1 + 0.15 \times \frac{5}{6} + 0.05 \times 0.688 \\&= 0.8 + 0.125 + 0.0344 \\&\approx 0.96\end{aligned}$

第（2）题

目标：已知通过验收，求箱子确实无次品的后验概率。

贝叶斯定理

设：

• $A$：箱子无次品
• $B$：通过验收

$P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)} = \frac{1 \times 0.8}{0.96} = \frac{5}{6} \approx 0.83$