题目
设Xi ~ N(0 , 4), i =1, 2, 3, 且相互独立, 则 ( ) 成立。A.dfrac ({X)_(1)}(4)sim N(0,1)B.dfrac ({X)_(1)}(4)sim N(0,1)C.dfrac ({X)_(1)}(4)sim N(0,1)D.X1+X2 –X3 ~N (0, 4)
设Xi ~ N(0 , 4), i =1, 2, 3, 且相互独立, 则 ( ) 成立。
- A.
- B.
- C.
- D.X1+X2 –X3 ~N (0, 4)
题目解答
答案
B. $\dfrac {{X}_{2}+{X}_{3}}{\sqrt {8}}\sim N(0,1)$
解析
步骤 1：分析选项A
给定 $X_i \sim N(0, 4)$，则 $X_1$ 的均值为 0，方差为 4。将 $X_1$ 除以 4，得到 $\dfrac{X_1}{4}$。根据正态分布的性质，$\dfrac{X_1}{4}$ 的均值为 $\dfrac{0}{4} = 0$，方差为 $\dfrac{4}{4^2} = \dfrac{1}{4}$。因此，$\dfrac{X_1}{4} \sim N(0, \dfrac{1}{4})$，选项A不成立。
步骤 2：分析选项B
给定 $X_i \sim N(0, 4)$，则 $X_2$ 和 $X_3$ 的均值为 0，方差为 4。由于 $X_2$ 和 $X_3$ 相互独立，$X_2 + X_3$ 的均值为 $0 + 0 = 0$，方差为 $4 + 4 = 8$。将 $X_2 + X_3$ 除以 $\sqrt{8}$，得到 $\dfrac{X_2 + X_3}{\sqrt{8}}$。根据正态分布的性质，$\dfrac{X_2 + X_3}{\sqrt{8}}$ 的均值为 $\dfrac{0}{\sqrt{8}} = 0$，方差为 $\dfrac{8}{8} = 1$。因此，$\dfrac{X_2 + X_3}{\sqrt{8}} \sim N(0, 1)$，选项B成立。
步骤 3：分析选项C
给定 $X_i \sim N(0, 4)$，则 $X_1$、$X_2$ 和 $X_3$ 的均值为 0，方差为 4。由于 $X_1$、$X_2$ 和 $X_3$ 相互独立，$X_1 + X_2 + X_3$ 的均值为 $0 + 0 + 0 = 0$，方差为 $4 + 4 + 4 = 12$。因此，$X_1 + X_2 + X_3 \sim N(0, 12)$，选项C不成立。
步骤 4：分析选项D
给定 $X_i \sim N(0, 4)$，则 $X_1$、$X_2$ 和 $X_3$ 的均值为 0，方差为 4。由于 $X_1$、$X_2$ 和 $X_3$ 相互独立，$X_1 + X_2 - X_3$ 的均值为 $0 + 0 - 0 = 0$，方差为 $4 + 4 + 4 = 12$。因此，$X_1 + X_2 - X_3 \sim N(0, 12)$，选项D不成立。
给定 $X_i \sim N(0, 4)$，则 $X_1$ 的均值为 0，方差为 4。将 $X_1$ 除以 4，得到 $\dfrac{X_1}{4}$。根据正态分布的性质，$\dfrac{X_1}{4}$ 的均值为 $\dfrac{0}{4} = 0$，方差为 $\dfrac{4}{4^2} = \dfrac{1}{4}$。因此，$\dfrac{X_1}{4} \sim N(0, \dfrac{1}{4})$，选项A不成立。
步骤 2：分析选项B
给定 $X_i \sim N(0, 4)$，则 $X_2$ 和 $X_3$ 的均值为 0，方差为 4。由于 $X_2$ 和 $X_3$ 相互独立，$X_2 + X_3$ 的均值为 $0 + 0 = 0$，方差为 $4 + 4 = 8$。将 $X_2 + X_3$ 除以 $\sqrt{8}$，得到 $\dfrac{X_2 + X_3}{\sqrt{8}}$。根据正态分布的性质，$\dfrac{X_2 + X_3}{\sqrt{8}}$ 的均值为 $\dfrac{0}{\sqrt{8}} = 0$，方差为 $\dfrac{8}{8} = 1$。因此，$\dfrac{X_2 + X_3}{\sqrt{8}} \sim N(0, 1)$，选项B成立。
步骤 3：分析选项C
给定 $X_i \sim N(0, 4)$，则 $X_1$、$X_2$ 和 $X_3$ 的均值为 0，方差为 4。由于 $X_1$、$X_2$ 和 $X_3$ 相互独立，$X_1 + X_2 + X_3$ 的均值为 $0 + 0 + 0 = 0$，方差为 $4 + 4 + 4 = 12$。因此，$X_1 + X_2 + X_3 \sim N(0, 12)$，选项C不成立。
步骤 4：分析选项D
给定 $X_i \sim N(0, 4)$，则 $X_1$、$X_2$ 和 $X_3$ 的均值为 0，方差为 4。由于 $X_1$、$X_2$ 和 $X_3$ 相互独立，$X_1 + X_2 - X_3$ 的均值为 $0 + 0 - 0 = 0$，方差为 $4 + 4 + 4 = 12$。因此，$X_1 + X_2 - X_3 \sim N(0, 12)$，选项D不成立。