设 C:|z-a|=a，则 oint_(C) (1)/(z^2-a^2) , mathrm(d)z= （ ）A. pi aiB. -pi aiC. (pi i)/(a)D. -(pi i)/(a)

本题考查复变函数中的柯西积分公式及其推论的应用。解题的关键思路是先对被积函数进行因式分解，找出其奇点，判断奇点是否在积分路径所围区域内，然后利用柯西积分公式或留数定理来计算积分。

步骤一：对被积函数进行因式分解

已知被积函数$f(z)=\frac{1}{z^2 - a^2}$，根据平方差公式$m^2 - n^2=(m + n)(m - n)$，可得$f(z)=\frac{1}{(z + a)(z - a)}$。
由此可知，函数$f(z)$有两个奇点$z_1 = a$和$z_2 = -a$。

步骤二：判断奇点与积分路径的位置关系

积分路径$C:|z - a| = a$是以$a$为圆心，$a$为半径的圆周。
对于奇点$z_1 = a$，将其代入$|z - a|$可得$|a - a| = 0\lt a$，所以$z_1 = a$在积分路径$C$所围的区域内。
对于奇点$z_2 = -a$，将其代入$|z - a|$可得$|-a - a| = |-2a| = 2|a|\gt a$，所以$z_2 = -a$在积分路径$C$所围的区域外。

步骤三：利用留数定理计算积分

根据留数定理$\oint_{C}f(z)dz = 2\pi i\sum_{k = 1}^{n}\text{Res}[f(z),z_k]$，其中$z_k$是$f(z)$在$C$所围区域内的奇点，$\text{Res}[f(z),z_k]$是$f(z)$在$z_k$处的留数。
由于只有$z_1 = a$在积分路径$C$所围的区域内，所以$\oint_{C}\frac{1}{z^2 - a^2}dz = 2\pi i\text{Res}[f(z),a]$。
对于$f(z)=\frac{1}{(z + a)(z - a)}$，$z = a$是一阶极点，根据一阶极点留数公式$\text{Res}[f(z),z_0]=\lim_{z\to z_0}(z - z_0)f(z)$，可得：
$\text{Res}[f(z),a]=\lim_{z\to a}(z - a)\frac{1}{(z + a)(z - a)}=\lim_{z\to a}\frac{1}{z + a}=\frac{1}{a + a}=\frac{1}{2a}$。

步骤四：计算积分的值

将$\text{Res}[f(z),a]=\frac{1}{2a}$代入$\oint_{C}\frac{1}{z^2 - a^2}dz = 2\pi i\text{Res}[f(z),a]$，可得：
$\oint_{C}\frac{1}{z^2 - a^2}dz = 2\pi i\times\frac{1}{2a}=\frac{\pi i}{a}$。