调节一个装瓶机使其对每个瓶子的灌装量均值为μ盎司，通过观察发现这台装瓶机对每个瓶子的灌装量服从标准差 σ=1.0 盎司的正态分布。随机抽取由这台机器灌装的9个瓶子组成一个样本，并测定每个瓶子的灌装量。试确定样本均值偏离总体均值不超过0.3盎司的概率。

考查要点：本题主要考查正态分布下样本均值的抽样分布以及标准正态分布的转换与概率计算。

解题核心思路：

1. 确定样本均值的分布：由于总体服从正态分布，样本均值的分布仍为正态分布，其均值为总体均值μ，标准差为总体标准差除以样本量的平方根（即标准误）。
2. 标准化转换：将样本均值的区间转化为标准正态分布变量Z的形式，利用标准正态分布表计算概率。

破题关键点：

• 标准误的计算：样本均值的标准差为$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。
• Z值的计算：通过$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$将区间端点转换为标准正态分布变量。
• 查表求概率：根据Z值查标准正态分布表，计算对应区间的概率。

步骤1：确定样本均值的分布参数

• 总体均值：$\mu$（与样本均值的均值相同）。
• 样本均值的标准差（标准误）：
  $\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3} \approx 0.3333.$

步骤2：标准化转换

要求样本均值偏离总体均值不超过0.3盎司的概率，即求：
$P\left(-0.3 \leq \bar{X} - \mu \leq 0.3\right).$
将不等式两边除以标准误$\frac{1}{3}$，转化为标准正态分布变量Z：
$\begin{aligned}P\left(-0.3 \leq \bar{X} - \mu \leq 0.3\right) &= P\left(\frac{-0.3}{1/3} \leq Z \leq \frac{0.3}{1/3}\right) \\&= P\left(-0.9 \leq Z \leq 0.9\right).\end{aligned}$

步骤3：查标准正态分布表

• Z=0.9对应的累积概率：查表得$0.8159$。
• Z=-0.9对应的累积概率：由对称性得$1 - 0.8159 = 0.1841$。
• 所求概率：
  $0.8159 - 0.1841 = 0.6318.$