题目

9、设X~B(10,0.2)，Y~N(1,3)，且X，Y相互独立，则E(XY²)=[填空1]

9、设X~B(10,0.2)，Y~N(1,3)，且X，Y相互独立，则E(XY²)=[填空1]

题目解答

答案

已知 $X \sim B(10, 0.2)$，则 $E(X) = 10 \times 0.2 = 2$。 已知 $Y \sim N(1, 3)$，则 $E(Y) = 1$，$D(Y) = 3$。利用方差公式 $D(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2$，解得 $E(Y^2) = 3 + 1^2 = 4$。 由于 $X$ 和 $Y$ 相互独立，由期望性质得 $E(XY^2) = E(X)E(Y^2) = 2 \times 4 = 8$。 答案：$\boxed{8}$

解析

本题考查二项分布、正态分布的期望与方差性质以及相互独立随机随机变量的期望的性质。解题思路思路如下：

  1. 首先，根据二项分布的期望公式求出$E(X)$。
    • 对于二项分布$X\sim B(n,p)$，其期望公式为$E(X)=np$。
  • 已知$X\sim B(10,0.2)$，其中$n = 10$，$p = 0.2$，将其代入公式可得：
    $E(X)=np=10\times0.2 = 2$
  1. 接着，根据正态分布的性质求出$E(Y)$和$D(Y)$。
  • 若$Y\sim N(\mu,\sigma^{2})$表示$Y$服从均值为$\mu$，方差为$\(\sigma^{2}$)的正态分布。
    已知$Y\sim N(1,3)$，所以$E(Y)=1$，$D(Y)=3$。
  1. 然后，利用方差公式求出$E(Y^{2})$。
  • 方差公式为$D(Y)=E(Y^{2})-[E(Y)]^{2}$，移项可得$E(Y^{2})=D(Y)+[E(Y)]^{2}$。
    把$E(Y)=1$，$D(Y)=3$代入上式可得：
    $E(Y^{2})=D(Y)+[E(Y)]^{2}=3 + 1^{2}=3 + 1=4$
  1. 最后，根据相互独立随机变量的期望性质求出$E(XY^{2})$。
  • 若$X$和$Y$相互独立，则$E(XY)=E(X)E(Y)$。
    因为$X$和$Y$相互独立，所以$X$和$Y^{2}$也相互独立，那么$E(XY^{2})=E(X)E(Y^{2})$。
    把$E(X)=2$，$E(Y^{2})=4$，代入可得：
    $E(XY^{2)=E(X)E(Y^{2})=2\times4 = 8$