题目

17.A是一实矩阵，证明：秩(A^TA)=秩(A).

17.A是一实矩阵，证明：秩$(A^{T}A)=秩(A)$.

题目解答

答案

设 $ A $ 为 $ m \times n $ 实矩阵，考虑齐次方程组 $ AX = 0 $ 和 $ A^T A X = 0 $。

  1. 解集关系：

    • 若 $ X $ 是 $ AX = 0 $ 的解，则 $ A^T A X = A^T \cdot 0 = 0 $，故 $ X $ 也是 $ A^T A X = 0 $ 的解。
    • 反之，若 $ X_0 $ 是 $ A^T A X = 0 $ 的解，则 $ X_0^T A^T A X_0 = (A X_0)^T (A X_0) = 0 $，由非负性得 $ A X_0 = 0 $，即 $ X_0 $ 也是 $ AX = 0 $ 的解。
    • 因此，两方程解集相同。

  2. 秩的关系：

    • 方程 $ AX = 0 $ 的基础解系含 $ n - \text{秩}(A) $ 个解。
    • 方程 $ A^T A X = 0 $ 的基础解系含 $ n - \text{秩}(A^T A) $ 个解。
    • 由解集相同，得 $ n - \text{秩}(A) = n - \text{秩}(A^T A) $，即 $ \text{秩}(A) = \text{秩}(A^T A) $。

结论：
$\boxed{\text{秩}(A^T A) = \text{秩}(A)}$

解析

本题考查矩阵的秩以及齐次线性方程组解的性质相关知识。解题的关键思路是通过证明齐次方程组 $AX = 0$ 和 $A^T A X = 0$ 的解集相同，再利用基础解系所含向量个数与矩阵秩的关系来得出秩$(A^{T}A)$与秩$(A)$相等的结论。

  1. 证明两齐次方程组解集相同：
    • 设 $A$ 为 $m\times n$ 实矩阵，先证明若 $X$ 是 $AX = 0$ 的解，则 $X$ 也是 $A^T A X = 0$ 的解。
      已知 $X$ 满足 $AX = 0$，将其代入 $A^T A X$ 可得：$A^T A X=A^T(AX)=A^T\cdot0 = 0$，所以 $X$ 是 $A^T A X = 0$ 的解。
    • 再证明若 $X_0$ 是 $A^T A X = 0$ 的解，则 $X_0$ 也是 $AX = 0$ 的解。
      已知 $X_0$ 满足 $A^T A X_0 = 0$，考虑 $X_0^T A^T A X_0$，根据矩阵乘法结合律可得 $X_0^T A^T A X_0=(AX_0)^T(AX_0)$。
      设 $AX_0=\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\\vdots\\y_m\end{pmatrix}$，则 $(AX_0)^T(AX_0)=\sum_{i = 1}^{m}y_i^2$。
      因为 $X_0^T A^T A X_0 = 0$，即 $\sum_{i = 1}^{m}y_i^2 = 0$，而 $y_i$ 为实数，所以 $y_i = 0$，$i = 1,2,\cdots,m$，也就是 $AX_0 = 0$，所以 $X_0$ 是 $AX = 0$ 的解。
      综上，齐次方程组 $AX = 0$ 和 $A^T A X = 0$ 的解集相同。
  2. 利用基础解系与矩阵秩的关系得出结论：
    对于齐次线性方程组 $AX = 0$，其中 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，根据线性代数知识，其基础解系所含向量的个数为 $n-\text{秩}(A)$。
    对于齐次线性方程组 $A^T A X = 0$，其中 $A^T A$ 是 $n\times n$ 矩阵，其基础解系所含向量的个数为 $n - \text{秩}(A^T A)$。
    由于 $AX = 0$ 和 $A^T A X = 0$ 的解集相同，所以它们的基础解系所含向量个数相等，即 $n-\text{秩}(A)=n - \text{秩}(A^T A)$。
    等式两边同时减去 $n$ 可得：$-\text{秩}(A)=-\text{秩}(A^T A)$，两边同时乘以$-1$，得到 $\text{秩}(A)=\text{秩}(A^T A)$。