题目

3.已知两个线性变换 }x_(1)=2y_(1)+y_(3),x_(2)=-2y_(1)+3y_(2)+2y_(3),x_(3)=4y_(1)+y_(2)+5y_(3),的线性变换

3.已知两个线性变换 $\begin{cases}x_{1}=2y_{1}+y_{3},\\x_{2}=-2y_{1}+3y_{2}+2y_{3},\\x_{3}=4y_{1}+y_{2}+5y_{3},\end{cases}$ $\begin{cases}y_{1}=-3z_{1}+z_{2},\\y_{2}=2z_{1}+z_{3},\\y_{3}=-z_{2}+3z_{3},\end{cases}$ 求从$z_{1},z_{2},z_{3}$到$x_{1},x_{2},x_{3}$的线性变换

题目解答

答案

将两个线性变换表示为矩阵形式，设 $X = AY$，$Y = BZ$，其中 \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ -2 & 3 & 2 \\ 4 & 1 & 5 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} -3 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 3 \end{pmatrix}. \] 计算 $AB$： \[ AB = \begin{pmatrix} -6 & 1 & 3 \\ 12 & -4 & 9 \\ -10 & -1 & 16 \end{pmatrix}. \] 因此，从 $z_1, z_2, z_3$ 到 $x_1, x_2, x_3$ 的线性变换为： \[ \boxed{ \begin{cases} x_1 = -6z_1 + z_2 + 3z_3, \\ x_2 = 12z_1 - 4z_2 + 9z_3, \\ x_3 = -10z_1 - z_2 + 16z_3. \end{cases} } \] 或矩阵形式： \[ \boxed{ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 & 1 & 3 \\ 12 & -4 & 9 \\ -10 & -1 & 16 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \end{pmatrix}. } \]

解析

本题考查线性变换的矩阵表示及矩阵乘法的知识。解题思路是先将两个线性变换表示为矩阵形式，然后通过矩阵乘法得到从$z_{1},z_{2},z_{3}$到$x_{1},x_{2},x_{3}$的线性变换矩阵。

设$X = AY$，$Y = BZ$，其中
$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ -2 & 3 & 2 \\ 4 & 1 & 5 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} -3 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 3 \end{pmatrix}.$
计算$AB$：
$AB = \begin{pmatrix} 2\times(-3)+0\times2 + 1\times0 & 2\times1+0\times0 + 1\times(-1) & 2\times0+0\times1 + 1\times3 \\ -2\times(-3)+3\times2 + 2\times0 & -2\times1+3\times0 + 2\times(-1) & -2\times0+3\times1 + 2\times3 \\ 4\times(-3)+1\times2 + 5\times0 & 4\times1+1\times0 + 5\times(-1) & 4\times0+1\times1 + 5\times3 \end{pmatrix}$
$= \begin{pmatrix} -6 & 1 & 3 \\ 12 & -4 & 9 \\ -10 & -1 & 16 \end{pmatrix}.$
因此，从$z_{1},z_{2},z_{3}$到$x_{1},x_{2},x_{3}$的线性变换为：
$\begin{cases} x_1 = -6z_1 + z_2 + 3z_3, \\ x_2 = 12z_1 - 4z_2 + 9z_3, \\ x_3 = -10z_1 - z_2 + 16z_3. \end{cases}$
或矩阵形式：
$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 & 1 & 3 \\ 12 & -4 & 9 \\ -10 & -1 & 16 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \end{pmatrix}.$