4.设X1,.,Xn为正态总体 sim N(mu ,(sigma )^2) 的样本,记 ^2=dfrac (1)(n-1)sum _(i=1)^n(({X)_(i)-overline (X))}^2 ,则下列-|||-选项中正确的是 () .-|||-A. dfrac ((n-1){S)^2}({sigma )^2}sim (chi )^2(n-1) B. dfrac ((n-1){S)^2}({sigma )^2}sim (chi )^2(n)-|||-C. (n-1)(S)^2sim (chi )^2(n-1) D. dfrac ({S)^2}({sigma )^2}sim (chi )^2(n-1) .

考查要点：本题主要考查正态总体下样本方差的分布性质，特别是与卡方分布的关系。

解题核心思路：

1. 关键知识点：当总体服从正态分布时，样本方差 $S^2$ 的计算公式为 $\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2$，其中 $\overline{X}$ 是样本均值。
2. 核心结论：$(n-1)S^2 / \sigma^2$ 服从自由度为 $n-1$ 的卡方分布，即 $\chi^2(n-1)$。
3. 破题关键：明确样本方差的标准化形式与卡方分布的定义之间的联系，注意自由度的调整（因使用样本均值 $\overline{X}$，自由度为 $n-1$）。

步骤解析：

1. 样本方差的定义：
   根据题意，样本方差 $S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2$，其中 $\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$ 是样本均值。

2. 标准化平方和：
   将平方和 $\sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2$ 标准化，得到 $\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2}{\sigma^2}$。

3. 卡方分布的性质：

   • 当总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ 时，$\frac{X_i - \mu}{\sigma} \sim N(0,1)$。
   • 但此处用样本均值 $\overline{X}$ 代替总体均值 $\mu$，导致平方和的自由度减少为 $n-1$，即 $\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$。

4. 选项分析：

   • 选项A：$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} = \frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$，正确。
   • 选项B：自由度错误（应为 $n-1$），错误。
   • 选项C：未除以 $\sigma^2$，实际服从 $\sigma^2 \chi^2(n-1)$，错误。
   • 选项D：$\frac{S^2}{\sigma^2} = \frac{\chi^2(n-1)}{n-1}$，不是卡方分布，错误。