题目

9、设总体X的概率密度函数为f(x,theta)=}(theta+1)x^theta,0<10,其他，为来自总体X的样本，求参数theta的矩估计量和最大似然估计量.

9、设总体X的概率密度函数为$f(x,\theta)=\begin{cases}(\theta+1)x^{\theta},0<1\\0,其他\end{cases},其中\theta>-1为未知参数$，$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$，为来自总体X的样本，求参数$\theta$的矩估计量和最大似然估计量.

题目解答

答案

矩估计量

  1. 计算总体期望：
    $E(X) = \int_0^1 x(\theta + 1)x^\theta \, dx = \frac{\theta + 1}{\theta + 2}$
  2. 令样本均值等于总体期望：
    $\bar{X} = \frac{\theta + 1}{\theta + 2} \quad \Rightarrow \quad \theta = \frac{2\bar{X} - 1}{1 - \bar{X}}$
    矩估计量： $\boxed{\frac{2\bar{X} - 1}{1 - \bar{X}}}$

最大似然估计量

  1. 写出似然函数：
    $L(\theta) = (\theta + 1)^n \prod_{i=1}^n X_i^\theta$
  2. 取对数并求导：
    $\ln L(\theta) = n \ln(\theta + 1) + \theta \sum_{i=1}^n \ln X_i$
    $\frac{d \ln L(\theta)}{d \theta} = \frac{n}{\theta + 1} + \sum_{i=1}^n \ln X_i = 0 \quad \Rightarrow \quad \theta = -1 - \frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln X_i}$
    最大似然估计量： $\boxed{-1 - \frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln X_i}}$
    （或等价表示：$\boxed{-1 - \frac{1}{\bar{Y}}}$，其中 $\bar{Y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \ln X_i$）

解析

本题考察参数的矩估计量和最大似然估计量的求解。解题思路如下：

求参数 $\theta$ 的矩估计量

  1. 计算总体期望 $E(X)$：
    根据概率密度函数 $f(x,\theta)$，计算 $E(X)$：
    $\begin{align*}E(X) &= \int_0^1 x(\theta + 1)x^\theta \, dx\\&= (\theta + 1) \int_0^1 x^{\theta + 1} \, dx\\&= (\theta + 1) \left[\frac{x^{\theta + 2}}{\theta + 2}\right]_0^1\\&= \frac{\theta + 1}{\theta + 2}\end{align*}$
  2. 令样本均值 $\bar{X}$ 等于总体期望 $E(X)$：
    设样本均值为 $\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$，令 $\bar{X} = E(X)$，即：
    $\bar{X} = \frac{\theta + 1}{\theta + 2}$
  3. 求解 $\theta$：
    对 $\bar{X} = \frac{\theta + 1}{\theta + 2}$ 进行变形求解 $\theta$：
    $\begin{align*}\bar{X}(\theta + 2) &= \theta + 1\\\bar{X}\theta + 2\bar{X} &= \theta + 1\\\bar{X}\theta - \theta &= 1 - 2\bar{X}\\\theta(\bar{X} - 1) &= 1 - 2\bar{X}\\\theta &= \frac{2\bar{X} - 1}{1 - \bar{X}}\end{align*}$
    所以参数 $\theta$ 的矩估计量为 $\frac{2\bar{X} - 1}{1 - \bar{X}}$。

求参数 $\theta$ 的最大似然估计量

  1. 写出似然函数 $L(\theta)$：
    根据样本 $X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$，写出似然函数：
    $L(\theta) = (\theta + 1)^n \prod_{i=1}^n X_i^\theta$
  2. 取对数并求导：
    对 $L(\theta)$ 取对数：
    $\ln L(\theta) = n \ln(\theta + 1) + \theta \sum_{i=1}^n \ln X_i$
    对 $\ln L(\theta)$ 求导：
    $\frac{d \ln L(\theta)}{d \theta} = \frac{n}{\theta + 1} + \sum_{i=1}^n \ln X_i$
  3. 令导数等于 0 并求解 $\theta$：
    令 $\frac{d \ln L(\theta)}{d \theta} = 0$，即：
    $\begin{align*}\frac{n}{\theta + 1} + \sum_{i=1}^n \ln X_i &= 0\\\frac{n}{\theta + 1} &= - \sum_{i=1}^n \ln X_i\\\theta + 1 &= - \frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln X_i}\\\theta &= -1 - \frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln X_i}\end{align*}$
    也可以写成等价形式：设 $\bar{Y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \ln X_i$，则 $\theta = -1 - \frac{1}{\bar{Y}}$。
    所以参数 $\theta$ 的最大似然估计量为 $-1 - \frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln X_i}$（或等价表示 $-1 - \frac{1}{\bar{Y}}$）。