14. 若正四面体的棱长为a,则其内切球的半径-|||-为 dfrac (sqrt {6)}(12)a

考查要点：本题主要考查正四面体的内切球半径的计算，涉及空间几何体的性质、体积与表面积的关系，以及几何体的重心位置。

解题核心思路：

1. 体积法：利用公式 $r = \dfrac{3V}{S}$，其中 $V$ 是正四面体的体积，$S$ 是表面积。
2. 几何法：通过正四面体的高与内切球半径的关系，结合勾股定理求解。

破题关键点：

• 正四面体的体积公式：$V = \dfrac{\sqrt{2}}{12}a^3$。
• 表面积公式：$S = \sqrt{3}a^2$。
• 正四面体的高：$H = \dfrac{\sqrt{6}}{3}a$，内切球半径是高的 $\dfrac{1}{4}$。

方法一：体积法

1. 计算体积：
   正四面体的体积公式为：
   $V = \dfrac{\sqrt{2}}{12}a^3$

2. 计算表面积：
   每个面是边长为 $a$ 的正三角形，面积为 $\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$，总表面积为：
   $S = 4 \times \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \sqrt{3}a^2$

3. 代入公式求半径：
   $r = \dfrac{3V}{S} = \dfrac{3 \times \dfrac{\sqrt{2}}{12}a^3}{\sqrt{3}a^2} = \dfrac{\sqrt{6}}{12}a$

方法二：几何法

1. 求正四面体的高：
   底面正三角形的重心到顶点的距离为 $\dfrac{\sqrt{3}}{3}a$，利用勾股定理：
   $H = \sqrt{a^2 - \left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}a\right)^2} = \dfrac{\sqrt{6}}{3}a$

2. 确定内切球半径：
   内切球半径是高的 $\dfrac{1}{4}$，即：
   $r = \dfrac{H}{4} = \dfrac{\sqrt{6}}{3}a \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{\sqrt{6}}{12}a$