题目
某银行要测定在业务柜台上处理每笔业务所花费的时间approx N(mu ,(sigma )^2), 现随机地抽取16笔业务，测得所需时间为approx N(mu ,(sigma )^2)，由此算出approx N(mu ,(sigma )^2),(1)求处理每笔业务平均所需时间approx N(mu ,(sigma )^2)置信度为0.95的置信区间；(2)在显著水平approx N(mu ,(sigma )^2)下，是否可以认为处理每笔业务所花费的时间为15min？(写出检验过程)approx N(mu ,(sigma )^2)
某银行要测定在业务柜台上处理每笔业务所花费的时间
, 现随机地抽取16笔业务，测得所需时间为
，由此算出
,
(1)求处理每笔业务平均所需时间
置信度为0.95的置信区间；
(2)在显著水平
下，是否可以认为处理每笔业务所花费的时间为15min？(写出检验过程)
题目解答
答案
(1) 求处理每笔业务平均所需时间的置信区间：
给定样本信息：
样本大小 n = 16
样本均值
样本标准差 
置信水平 
，则
由于样本数量较大
，可以使用正态分布的置信区间公式来计算置信区间：
其中，
是标准正态分布的 
分位点。
代入已知值：
查表得 
，代入计算：
所以，处理每笔业务平均所需时间的 95% 置信区间为 
。
(2) 假设检验：
原假设 
： 处理每笔业务所花费的时间为 15 min。
备选假设 
： 处理每笔业务所花费的时间不为 15 min。
给定显著水平 
由于样本数量较小，标准差未知，所以使用 t 分布来进行假设检验。计算 t 统计量：
其中，
是原假设中的均值（15 min），n 是样本大小。
代入已知值：
在显著水平下，对双侧检验，查 t 分布表得 
由于
即 t 统计量落在拒绝域之外，故在显著水平下，不能拒绝原假设。
因此，在显著水平 下，不能认为处理每笔业务所花费的时间为 15 min。
最终答案：
(1) 处理每笔业务平均所需时间的 95% 置信区间为 。
(2) 在显著水平下，不能认为处理每笔业务所花费的时间为 15 min。
解析
步骤 1：计算处理每笔业务平均所需时间的置信区间
给定样本信息：
- 样本大小 n = 16
- 样本均值 $\overline{x} = 13$ min
- 样本标准差 $s = 5.6$ min
- 置信水平 $1-\alpha = 0.95$，则 $\alpha = 0.05$
由于样本数量较小（$n < 30$），且总体标准差未知，使用 t 分布的置信区间公式来计算置信区间：
置信区间 $= \overline{x} \pm t_{\alpha/2}(n-1) \times \dfrac{s}{\sqrt{n}}$
其中，$t_{\alpha/2}(n-1)$ 是 t 分布的 $\alpha/2$ 分位点。
代入已知值：
置信区间 $= 13 \pm t_{0.025}(15) \times \dfrac{5.6}{\sqrt{16}}$
查表得 $t_{0.025}(15) = 2.1315$，代入计算：
置信区间 $= 13 \pm 2.1315 \times \dfrac{5.6}{4} = 13 \pm 2.984$
所以，处理每笔业务平均所需时间的 95% 置信区间为 $(10.016, 15.984)$ min。
步骤 2：假设检验
原假设 $H_0$：处理每笔业务所花费的时间为 15 min。
备选假设 $H_1$：处理每笔业务所花费的时间不为 15 min。
给定显著水平 $\alpha = 0.05$
由于样本数量较小，标准差未知，所以使用 t 分布来进行假设检验。计算 t 统计量：
$t = \dfrac{\overline{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}$
其中，$\mu_0$ 是原假设中的均值（15 min），n 是样本大小。
代入已知值：
$t = \dfrac{13 - 15}{5.6/\sqrt{16}} = -0.7143$
在显著水平 $\alpha = 0.05$ 下，对双侧检验，查 t 分布表得 $t_{0.025}(15) = 2.1315$。
由于 $-t_{0.025}(15) = -2.1315 < -0.7143 < t_{0.025}(15) = 2.1315$，即 t 统计量落在拒绝域之外，故在显著水平 $\alpha = 0.05$ 下，不能拒绝原假设 $H_0$。
因此，在显著水平 $\alpha = 0.05$ 下，不能认为处理每笔业务所花费的时间为 15 min。
给定样本信息：
- 样本大小 n = 16
- 样本均值 $\overline{x} = 13$ min
- 样本标准差 $s = 5.6$ min
- 置信水平 $1-\alpha = 0.95$，则 $\alpha = 0.05$
由于样本数量较小（$n < 30$），且总体标准差未知，使用 t 分布的置信区间公式来计算置信区间：
置信区间 $= \overline{x} \pm t_{\alpha/2}(n-1) \times \dfrac{s}{\sqrt{n}}$
其中，$t_{\alpha/2}(n-1)$ 是 t 分布的 $\alpha/2$ 分位点。
代入已知值：
置信区间 $= 13 \pm t_{0.025}(15) \times \dfrac{5.6}{\sqrt{16}}$
查表得 $t_{0.025}(15) = 2.1315$，代入计算：
置信区间 $= 13 \pm 2.1315 \times \dfrac{5.6}{4} = 13 \pm 2.984$
所以，处理每笔业务平均所需时间的 95% 置信区间为 $(10.016, 15.984)$ min。
步骤 2：假设检验
原假设 $H_0$：处理每笔业务所花费的时间为 15 min。
备选假设 $H_1$：处理每笔业务所花费的时间不为 15 min。
给定显著水平 $\alpha = 0.05$
由于样本数量较小，标准差未知，所以使用 t 分布来进行假设检验。计算 t 统计量：
$t = \dfrac{\overline{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}$
其中，$\mu_0$ 是原假设中的均值（15 min），n 是样本大小。
代入已知值：
$t = \dfrac{13 - 15}{5.6/\sqrt{16}} = -0.7143$
在显著水平 $\alpha = 0.05$ 下，对双侧检验，查 t 分布表得 $t_{0.025}(15) = 2.1315$。
由于 $-t_{0.025}(15) = -2.1315 < -0.7143 < t_{0.025}(15) = 2.1315$，即 t 统计量落在拒绝域之外，故在显著水平 $\alpha = 0.05$ 下，不能拒绝原假设 $H_0$。
因此，在显著水平 $\alpha = 0.05$ 下，不能认为处理每笔业务所花费的时间为 15 min。