9.设当x→0时，int_(0)^x(e^tcos t^(2)-e^t)dt与ax^b是等价无穷小量，则(a,b)=（）.A. (-(1)/(6),3)B. (-(1)/(24),4)C. (-(1)/(2),5)D. (-(1)/(12),6)

考查要点：本题主要考查等价无穷小的判定、泰勒展开的应用以及定积分的近似计算。关键在于将被积函数展开为泰勒级数，找到主要项后进行积分，再与给定的幂函数比较。

解题思路：

1. 泰勒展开被积函数：将$e^{t\cos t^2}$和$e^t$分别展开，相减后得到主要项。
2. 积分近似计算：对展开后的被积函数进行积分，得到关于$x$的表达式。
3. 比较阶数：根据等价无穷小的定义，确定$a$和$b$的值。

破题关键：

• 展开到足够阶数：需展开到$t^5$项，确保积分后能确定正确的阶数$b$。
• 忽略高阶小项：积分时只需保留对结果有贡献的主项。

步骤1：展开被积函数

1. 展开$\cos t^2$：
   $\cos t^2 = 1 - \frac{t^4}{2} + \cdots$，因此$t\cos t^2 = t - \frac{t^5}{2} + \cdots$。
2. 展开$e^{t\cos t^2}$：
   令$u = t - \frac{t^5}{2}$，则$e^{t\cos t^2} = e^u \approx e^t \cdot e^{-\frac{t^5}{2}} \approx e^t \left(1 - \frac{t^5}{2}\right)$（因$e^{-\frac{t^5}{2}} \approx 1 - \frac{t^5}{2}$）。
3. 计算差值：
   $e^{t\cos t^2} - e^t \approx e^t \left(1 - \frac{t^5}{2}\right) - e^t = -\frac{t^5 e^t}{2} \approx -\frac{t^5}{2}$（当$t \to 0$时，$e^t \approx 1$）。

步骤2：积分近似计算

对主项$-\frac{t^5}{2}$积分：
$\int_{0}^{x} -\frac{t^5}{2} \, dt = -\frac{1}{2} \cdot \frac{x^6}{6} = -\frac{x^6}{12}.$

步骤3：比较等价无穷小

积分结果为$-\frac{x^6}{12}$，与$ax^b$等价无穷小，故需满足：
$a = -\frac{1}{12}, \quad b = 6.$