题目

已知健康男童的体重近叙服从正态分布,求年某地100名12岁健康男童体重的的数为36.3kg,-|||-标准差为6.19kg,试估计(1)该地12岁健康男数体取的95%参考值范围。(2)估计100名男童-|||-的体重平均水平的95 %可信区间。

$\begin{aligned}\\&\text{已知健康男童的体重近叙服从正态分布},\text{求年某地}100\text{名}12\text{岁健康男童体重的的数为}36.3kg, \\&\text{标准差为6.19kg,试估计(1)该地12岁健康男数体取的95\%参考值范围。(2)估计100名男童}\\&\text{的体重平均水平的95\%可信区间。}\end{aligned}$

题目解答

答案

1. 对于正态分布数据，95%参考值范围的计算方法是：均数±1.96 倍标准差。

2. 对于样本均数的 95%可信区间的计算方法是：均数±t 分布的双侧分位数（对应自由度为样本量减 1）乘以标准误，标准误等于标准差除以样本量的平方根。

（1）该地 12 岁健康男童体重的 95%参考值范围：

- 因为健康男童体重近似服从正态分布，95%参考值范围为均数±1.96 倍标准差。

- 即 $36.3\pm1.96\times6.19$ 。

- 计算可得 $36.3 - 1.96×6.19 = 36.3 - 12.1324 = 24.1676kg；$ $36.3+1.96\times6.19=36.3+12.1324=48.4324kg$ 。

（2）估计 100 名男童的体重平均水平的 95%可信区间：

- 标准误为 $\frac{6.19}{\sqrt{100}}=0.619。$

- 自由度为 $100 - 1 = 99，$ 查 t 分布表可得双侧分位数（近似值）为 1.984。

- 95%可信区间为 $36.3\pm1.984×0.619。$

- 计算可得 $36.3 - 1.984×0.619 = 36.3 - 1.226796 = 35.073204kg；$ $36.3+1.984\times0.619=36.3+1.226796=37.526796kg。$

故答案为（1）该地 12 岁健康男童体重的 95%参考值范围为 24.1676kg 至 48.4324kg。（2）100 名男童的体重平均水平的 95%可信区间为 35.073204kg 至 37.526796kg。

解析

步骤 1：计算95%参考值范围
- 由于健康男童体重近似服从正态分布，95%参考值范围为均数±1.96 倍标准差。
- 均数为36.3kg，标准差为6.19kg。
- 计算95%参考值范围的下限和上限。

步骤 2：计算95%可信区间
- 95%可信区间为均数±t 分布的双侧分位数（对应自由度为样本量减 1）乘以标准误。
- 标准误为标准差除以样本量的平方根。
- 自由度为100-1=99，查t分布表可得双侧分位数（近似值）为1.984。
- 计算95%可信区间的下限和上限。