●2.某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额,在为期 3 周的时间里选取 49 名顾客 组成了一个简单随机样本。 (1) 假定总体标准差为 15 元,求样本均值的抽样标准误差; (2) 在 95%的置信水平下,求允许误差; (3) 如果样本均值为 120 元,求总体均值 95%的置信区间。

解: (1)已假定总体标准差为σ =15 元, 则样本均值的抽样标准误差为 σ=2.1429 x(2)已知置信水平 1-α =95%,得 Z α=1.96 于是,允许误差是 E = Z 1.96×2.1429=4.2000。 n (3)已知样本均值为 x =120 元,置信水平 1-α =95%,得 Z α 这时总体均值的置信区间为 x ? Z α σ /2 /2 =1.96, =120±4.2= n 1 2 4 .2 1 1 5 .8 可知,如果样本均值为 120 元,总体均值 95%的置信区间为(115.8,124.2)元。 20 ●3.某大学为了解学生每天上网的时间,在全校 7500 名学生中采取不重复抽样方法随机抽 取 36 人,调查他们每天上网的时间,得到下面的数据(单位:小时) : 3.3 3.1 6.2 5.8 2.3 4.1 5.4 4.5 3.2 4.4 2.0 5.4 2.6 6.4 1.8 3.5 5.7 2.3 2.1 1.9 1.2 5.1 4.3 4.2 3.6 0.8 1.5 4.7 1.4 1.2 2.9 3.5 2.4 0.5 3.6 2.5 求该校大学生平均上网时间的置信区间,置信水平分别为 90%、95%和 99%。 解:⑴计算样本均值 x :将上表数据复制到 Excel 表中,并整理成一列,点击最后数据下面 空格,选择自动求平均值,回车,得到 x =3.316667, ⑵计算样本方差 s: 删除 Excel 表中的平均值, 点击自动求值→其它函数→STDEV→选 定计算数据列→确定→确定,得到 s=1.6093 也可以利用 Excel 进行列表计算:选定整理成一列的第一行数据的邻列的单元格, 输 入“=(a7-3.316667)^2” ,回车,即得到各数据的离差平方,在最下行求总和,得到: ?( x i - x) =90.65 2 再对总和除以 n-1=35 后,求平方根,即为样本方差的值 s= ?( x i - x) 2 n ?1 = 9 0 .6 5 35 =1.6093。 ⑶计算样本均值的抽样标准误差: 已知样本容量 n=36,为大样本, 得样本均值的抽样标准误差为 σ x = s n = 1 .6 0 9 3 36 =0.2682 ⑷分别按三个置信水平计算总体均值的置信区间: ① 置信水平为 90%时: 由双侧正态分布的置信水平 1-α =90%,通过 2β -1=0.9 换算为单侧正态分 布的置信水平β =0.95,查单侧正态分布表得 Z α 计算得此时总体均值的置信区间为 x ? Zα s /2 /2 =1.64, =3.3167±1.64×0.2682= 3 .7 5 6 5 2 .8 7 6 9 n 可知,当置信水平为 90%时,该校大学生平均上网时间的置信区间为(2.87,3.76) 小时; ② 置信水平为 95%时: 由双侧正态分布的置信水平 1-α =95%,得 Z α 计算得此时总体均值的置信区间为 x ? Zα s /2 /2 =1.96, =3.3167±1.96×0.2682= 3 .8 4 2 3 2 .7 9 1 0 n 21 可知,当置信水平为 95%时,该校大学生平均上网时间的置信区间为(2.79,3.84) 小时; ③ 置信水平为 99%时: 若双侧正态分布的置信水平 1-α =99%,通过 2β -1=0.99 换算为单侧正态 分布的置信水平β =0.995,查单侧正态分布表得 Z α 计算得此时总体均值的置信区间为 x ? Zα s /2 /2 =2.58, =3.3167±2.58×0.2682= 4 .0 0 8 7 2 .6 2 4 7 n 可知,当置信水平为 99%时,该校大学生平均上网时间的置信区间为(2.62,4.01) 小时。