8.设口袋中有10只红球和15只白球，每次取一个球，取后不放回，则第二次取得红球的概率为____.
题目解答
答案
设 $ A_1 $ 为第一次取红球，$ A_2 $ 为第一次取白球，$ B $ 为第二次取红球。
由全概率公式：
$P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2)$
计算各概率：
$P(A_1) = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}, \quad P(B|A_1) = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}$
$P(A_2) = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}, \quad P(B|A_2) = \frac{10}{24} = \frac{5}{12}$
代入公式：
$P(B) = \frac{2}{5} \times \frac{3}{8} + \frac{3}{5} \times \frac{5}{12} = \frac{3}{20} + \frac{1}{4} = \frac{2}{5}$
或者，考虑顺序不影响概率，第二次取红球概率等于红球比例：
$\frac{10}{25} = \frac{2}{5}$
答案： $\boxed{\frac{2}{5}}$
解析
考查要点：本题主要考查条件概率和全概率公式的应用，以及对概率对称性的理解。
解题核心思路：
第二次取红球的概率可能受第一次取球结果的影响，因此需要分两种情况讨论：第一次取红球或白球。通过全概率公式将两种情况的概率加权求和，或利用概率的对称性直接得出结果。
破题关键点：
- 分情况讨论：第一次取红球和白球对第二次取球的影响不同。
- 对称性简化：无论取球顺序如何，每个球被第二次取到的概率均等，因此概率等于红球的初始比例。
方法一：全概率公式
-
定义事件：
- $A_1$：第一次取红球；
- $A_2$：第一次取白球；
- $B$：第二次取红球。
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计算各概率：
- $P(A_1) = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}$（第一次取红球的概率）；
- 若第一次取红球，剩余红球9个，总球24个，故$P(B|A_1) = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}$；
- $P(A_2) = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$（第一次取白球的概率）；
- 若第一次取白球，红球仍10个，总球24个，故$P(B|A_2) = \frac{10}{24} = \frac{5}{12}$。
-
全概率公式求和：
$P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) = \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{8} + \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{12} = \frac{3}{20} + \frac{1}{4} = \frac{2}{5}.$
方法二：概率的对称性
所有球被第二次取到的概率均等，因此第二次取红球的概率等于红球的初始比例：
$P(B) = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}.$