题目

2、假设总体X服从参数为λ的泊松分布，X_(1),X_(2),...,X_(n)是取自总体X的简单随机样本，其均值为overline(X)，方差为S^2。已知hat(lambda)=aoverline(X)+(2-3a)S^2为λ的无偏估计，则a等于（）。A. -1B. 0C. (1)/(2)D. 1

2、假设总体X服从参数为λ的泊松分布，$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$是取自总体X的简单随机样本，其均值为$\overline{X}$，方差为$S^{2}$。已知$\hat{\lambda}=a\overline{X}+(2-3a)S^{2}$为λ的无偏估计，则a等于（）。

A. -1

B. 0

C. $\frac{1}{2}$

D. 1

题目解答

答案

C. $\frac{1}{2}$

解析

本题考查无偏估计的概念以及泊松分布的性质。解题的关键在于利用无偏估计的定义，即估计量的期望等于被估计的参数，结合泊松分布的均值和方差性质来求解参数 $a$ 的值。

  1. 首先明确无偏估计的定义：
    • 若$\hat{\theta}$是参数$\theta$的无偏估计，则$E(\hat{\theta})=\theta$。
    • 已知$\hat{\lambda}=a\overline{X}+(2 - 3a)S^{2}$为$\lambda$的无偏估计，所以$E(\hat{\lambda})=\lambda$。
  2. 然后根据期望的线性性质$E(A + B)=E(A)+E(B)$，对$E(\hat{\lambda})$进行展开：
    • $E(\hat{\lambda})=E[a\overline{X}+(2 - 3a)S^{2}]=aE(\overline{X})+(2 - 3a)E(S^{2})$。
  3. 接着利用泊松分布和样本均值、样本方差的性质：
    • 因为总体$X$服从参数为$\lambda$的泊松分布，对于简单随机样本$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$，样本均值$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}$，根据期望的性质$E(\overline{X})=E(\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i})=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}E(X_{i})$，又因为$E(X_{i})=\lambda$（$i = 1,2,\cdots,n$），所以$E(\overline{X})=\lambda$。
    • 样本方差$S^{2}=\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}$，且$E(S^{2}) = D(X)$（样本方差是总体方差的无偏估计），而泊松分布的方差$D(X)=\lambda$，所以$E(S^{2})=\lambda$。
  4. 最后将$E(\overline{X})=\lambda$和$E(S^{2})=\lambda$代入$E(\hat{\lambda})=aE(\overline{X})+(2 - 3a)E(S^{2})$中：
    • 可得$E(\hat{\lambda})=a\lambda+(2 - 3a)\lambda$。
    • 对$a\lambda+(2 - 3a)\lambda$进行化简：
      • $a\lambda+(2 - 3a)\lambda=(a + 2 - 3a)\lambda=(2 - 2a)\lambda$。
    • 因为$E(\hat{\lambda})=\lambda$，所以$(2 - 2a)\lambda=\lambda$。
    • 由于$\lambda\gt0$，等式两边同时除以$\lambda$，得到$2 - 2a = 1$。
    • 移项可得$2a=2 - 1 = 1$，解得$a=\frac{1}{2}$。