已知函数y=a（(1)/(2)）|x|+b的图象过原点，且无限接近直线y=2但又不与该直线相交．（1）求该函数的解析式，并画出图象；（2）判断该函数的奇偶性和单调性．

考查要点：本题主要考查指数函数的图像与性质，函数的奇偶性与单调性判断，以及根据条件确定函数解析式的能力。

解题核心思路：

1. 利用特殊点确定参数：函数过原点，代入$(0,0)$可得$a$与$b$的关系。
2. 极限分析确定渐近线：函数无限接近直线$y=2$，说明当$|x|$趋近于无穷大时，函数值趋近于$b$，从而确定$b=2$。
3. 分段讨论单调性：将函数按$x \geq 0$和$x < 0$分段，结合指数函数的单调性分析整体趋势。
4. 奇偶性判断：通过验证$f(-x) = f(x)$判断偶函数。

破题关键点：

• 渐近线分析：明确$b$的值由极限决定。
• 分段处理：利用绝对值拆分函数表达式，简化单调性分析。

第（1）题

代入原点条件

函数过原点$(0,0)$，代入得：
$0 = a \left( \frac{1}{2} \right)^{|0|} + b \implies 0 = a + b \implies a = -b.$

确定渐近线参数

当$|x|$趋近于无穷大时，$\left( \frac{1}{2} \right)^{|x|} \to 0$，此时函数值趋近于$b$。题目中函数无限接近直线$y=2$，故$b=2$，进而$a = -2$。

函数解析式

综上，函数解析式为：
$f(x) = -2 \left( \frac{1}{2} \right)^{|x|} + 2.$

图像绘制

• 分段表达式：
  $f(x) = \begin{cases} -2^{1-x} + 2, & x \geq 0, \\ -2^{x+1} + 2, & x < 0. \end{cases}$
• 关键点：当$x=0$时，$f(0)=0$；当$x \to \pm\infty$时，$f(x) \to 2$。
• 形状：关于$y$轴对称，$x \geq 0$时递增，$x < 0$时递减，整体呈“V”型曲线，渐近于$y=2$。

第（2）题

奇偶性判断

计算$f(-x)$：
$f(-x) = -2 \left( \frac{1}{2} \right)^{|-x|} + 2 = -2 \left( \frac{1}{2} \right)^{|x|} + 2 = f(x),$
故$f(x)$是偶函数。

单调性分析

• 当$x \geq 0$时：$f(x) = -2^{1-x} + 2$，导数为：
  $f'(x) = 2^{1-x} \ln 2 > 0,$
  故$f(x)$在$(0, +\infty)$上单调递增。
• 当$x < 0$时：$f(x) = -2^{x+1} + 2$，导数为：
  $f'(x) = -2^{x+1} \ln 2 < 0,$
  故$f(x)$在$(-\infty, 0)$上单调递减。