下列极限计算正确的是()。A. lim_(xto0)sin x/x=1B. lim_(xtoinfty)(1+1/x)^x=eC. lim_(xto0)(e^x-1)/x=1D. lim_(xto0)(1-cos x)/x=0E. lim_(xto0)x/sin x=1

本题考查极限的基本计算方法，涉及等价无穷小替换、泰勒展开、洛必达法则以及重要极限公式的应用。解题核心在于：

1. 识别常见极限形式，如 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ 和 $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$；
2. 灵活运用等价无穷小（如 $\sin x \sim x$，$e^x \sim 1 + x$）简化计算；
3. 区分不同极限类型（如 $0/0$ 型适用洛必达法则，泰勒展开适用于高阶近似）。

选项A：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

• 等价无穷小替换：当 $x \to 0$ 时，$\sin x \sim x$，因此 $\frac{\sin x}{x} \to 1$。
• 泰勒展开：$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \cdots$，忽略高阶小项后 $\frac{\sin x}{x} \approx 1$。

选项B：$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$

• 重要极限公式：这是自然对数底数 $e$ 的定义式，直接成立。

选项C：$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$

• 等价无穷小替换：当 $x \to 0$ 时，$e^x - 1 \sim x$，因此 $\frac{e^x - 1}{x} \to 1$。
• 洛必达法则：对 $0/0$ 型极限，分子分母求导得 $\frac{e^x}{1} \to 1$。

选项D：$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0$

• 泰勒展开：$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \cdots$，代入得 $\frac{1 - (1 - \frac{x^2}{2})}{x} = \frac{x}{2} \to 0$。
• 洛必达法则：分子分母求导得 $\frac{\sin x}{1} \to 0$。

选项E：$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1$

• 倒数关系：由 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，取倒数得 $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1$。