设总体 X sim N(mu, sigma^2)，X_1, X_2, ..., X_n (n > 1) 为来自 X 的一个样本，若 sigma^2 = c sum_(i=1)^n-1 (X_(i+1) - X_i)^2 是 sigma^2 的一个无偏估计量，则 c = ( )。(A) (1)/(n)(B) (1)/(n-1)(C) (1)/(2(n-1))(D) (1)/(2n)

我们来解决这个题目，题目是关于统计学中无偏估计量的问题。

题目回顾：

设总体 $ X \sim N(\mu, \sigma^2) $，$ X_1, X_2, \cdots, X_n $ 是来自该总体的样本，若：

$\sigma^2 = c \sum_{i=1}^{n-1} (X_{i+1} - X_i)^2$

是 $\sigma^2$ 的一个无偏估计量，求常数 $c$ 的值。

解题思路：

我们要找出使得：

$\mathbb{E}\left[c \sum_{i=1}^{n-1} (X_{i+1} - X_i)^2\right] = \sigma^2$

即：

$c \cdot \mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^{n-1} (X_{i+1} - X_i)^2\right] = \sigma^2$

因此，我们只需要计算：

$\mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^{n-1} (X_{i+1} - X_i)^2\right]$

第一步：计算期望

我们有：

$\mathbb{E}[(X_{i+1} - X_i)^2] = \mathbb{E}[X_{i+1}^2 - 2X_{i+1}X_i + X_i^2]$

利用期望的线性性：

$= \mathbb{E}[X_{i+1}^2] - 2\mathbb{E}[X_{i+1}X_i] + \mathbb{E}[X_i^2]$

由于 $X_i \sim N(\mu, \sigma^2)$，且独立，所以：

• $\mathbb{E}[X_i] = \mu$
• $\mathbb{E}[X_i^2] = \text{Var}(X_i) + (\mathbb{E}[X_i])^2 = \sigma^2 + \mu^2$
• $\mathbb{E}[X_{i+1}X_i] = \mathbb{E}[X_{i+1}]\mathbb{E}[X_i] = \mu^2$（因为独立）

代入得：

$\mathbb{E}[(X_{i+1} - X_i)^2] = (\sigma^2 + \mu^2) - 2\mu^2 + (\sigma^2 + \mu^2) = 2\sigma^2$

第二步：求总和的期望

$\mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^{n-1} (X_{i+1} - X_i)^2\right] = \sum_{i=1}^{n-1} \mathbb{E}[(X_{i+1} - X_i)^2] = (n-1) \cdot 2\sigma^2$

第三步：代入无偏估计的定义

$c \cdot (n-1) \cdot 2\sigma^2 = \sigma^2$

两边同时除以 $\sigma^2$（$\sigma^2 > 0$）：

$c \cdot 2(n-1) = 1 \Rightarrow c = \frac{1}{2(n-1)}$

最终答案：

$\boxed{\text{(C) } \frac{1}{2(n-1)}}$