题目
3.设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机抽取36名考生，算得其平均成绩为66.5分，标准差为15分。问在显著性水平0.05下，(1)是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩是70分?(2)是否可以认为这次考试全体考生的成绩的方差为16²? (参考值：z_(0.05)=1.65，z_(0.025)=1.96，t_(0.05)(35)=1.69，t_(0.025)(35)=2.03，X_(0.025)^2(35)=53.20，X_(0.05)^2(35)=49.80，X_(0.975)^2(35)=20.57，X_(0.95)^2(35)=22.47)
3.设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机抽取36名考生，算得其平均成绩为66.5分，标准差为15分。问在显著性水平0.05下，
(1)是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩是70分?
(2)是否可以认为这次考试全体考生的成绩的方差为16²? (参考值：$z_{0.05}=1.65$，$z_{0.025}=1.96$，$t_{0.05}(35)=1.69$，$t_{0.025}(35)=2.03$，$X_{0.025}^{2}(35)=53.20$，$X_{0.05}^{2}(35)=49.80$，$X_{0.975}^{2}(35)=20.57$，$X_{0.95}^{2}(35)=22.47$)
题目解答
答案
(1) **假设检验：**
$H_0: \mu = 70$，$H_1: \mu \neq 70$
计算 t 统计量：
\[
T = \frac{\overline{X} - \mu_0}{S / \sqrt{n}} = \frac{66.5 - 70}{15 / 6} = -1.4
\]
临界值 $t_{0.025}(35) = 2.03$，
因 $|T| = 1.4 < 2.03$，不拒绝 $H_0$。
(2) **假设检验：**
$H_0: \sigma^2 = 256$，$H_1: \sigma^2 \neq 256$
计算 $\chi^2$ 统计量：
\[
\chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} = \frac{35 \times 225}{256} \approx 30.76
\]
临界值 $\chi^2_{0.025}(35) = 53.20$，$\chi^2_{0.975}(35) = 20.57$，
因 $20.57 < 30.76 < 53.20$，不拒绝 $H_0$。
**答案：**
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
(1) & \text{可以认为平均成绩是 70 分。} \\
(2) & \text{可以认为方差为 } 16^2。 \\
\end{array}
}
\]
解析
步骤 1：检验全体考生平均成绩是否为70分
- 假设检验：$H_0: \mu = 70$，$H_1: \mu \neq 70$
- 计算 t 统计量：\[ T = \frac{\overline{X} - \mu_0}{S / \sqrt{n}} = \frac{66.5 - 70}{15 / \sqrt{36}} = -1.4 \]
- 临界值 $t_{0.025}(35) = 2.03$
- 因为 $|T| = 1.4 < 2.03$，不拒绝 $H_0$，即可以认为平均成绩是70分。
步骤 2：检验全体考生成绩方差是否为16²
- 假设检验：$H_0: \sigma^2 = 256$，$H_1: \sigma^2 \neq 256$
- 计算 $\chi^2$ 统计量：\[ \chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} = \frac{35 \times 15^2}{256} \approx 30.76 \]
- 临界值 $\chi^2_{0.025}(35) = 53.20$，$\chi^2_{0.975}(35) = 20.57$
- 因为 $20.57 < 30.76 < 53.20$，不拒绝 $H_0$，即可以认为方差为16²。
- 假设检验：$H_0: \mu = 70$，$H_1: \mu \neq 70$
- 计算 t 统计量：\[ T = \frac{\overline{X} - \mu_0}{S / \sqrt{n}} = \frac{66.5 - 70}{15 / \sqrt{36}} = -1.4 \]
- 临界值 $t_{0.025}(35) = 2.03$
- 因为 $|T| = 1.4 < 2.03$，不拒绝 $H_0$，即可以认为平均成绩是70分。
步骤 2：检验全体考生成绩方差是否为16²
- 假设检验：$H_0: \sigma^2 = 256$，$H_1: \sigma^2 \neq 256$
- 计算 $\chi^2$ 统计量：\[ \chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} = \frac{35 \times 15^2}{256} \approx 30.76 \]
- 临界值 $\chi^2_{0.025}(35) = 53.20$，$\chi^2_{0.975}(35) = 20.57$
- 因为 $20.57 < 30.76 < 53.20$，不拒绝 $H_0$，即可以认为方差为16²。