题目
进行 5 次 独立测试测得零件 直径 ( mm ) 的样本观测值为： 5.23 5.13 4.94 4.81 5 . 47设零件直径服从正态分布 ，则零件直径的 标准差 的置信水平为 0.95 的置信 区间 ______ ( 精确到小数点后二位 ,)
进行 5 次 独立测试测得零件 直径 ( mm ) 的样本观测值为：
5.23 5.13 4.94 4.81 5 . 47
设零件直径服从正态分布 
，则零件直径的 标准差 
的置信水平为 0.95 的置信 区间 ______ ( 精确到小数点后二位 ,
)
题目解答
答案
∵
代入公式：
解析
步骤 1：计算样本均值
根据给定的样本观测值，计算样本均值 $\bar{x}$。
步骤 2：计算样本方差
根据样本观测值和样本均值，计算样本方差 $S^2$。
步骤 3：确定置信区间
利用给定的卡方分布临界值，计算标准差的置信区间。
【答案】
$[0.02,0.42]$
【解析】
步骤 1：计算样本均值
样本观测值为：5.23, 5.13, 4.94, 4.81, 5.47
样本均值 $\bar{x} = \frac{1}{5} \sum_{i=1}^{5} x_i = \frac{1}{5} \times (5.23 + 5.13 + 4.94 + 4.81 + 5.47) = 5.12$
步骤 2：计算样本方差
样本方差 $S^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 = \frac{1}{5} \times [(5.23 - 5.12)^2 + (5.13 - 5.12)^2 + (4.94 - 5.12)^2 + (4.81 - 5.12)^2 + (5.47 - 5.12)^2] = 0.05$
步骤 3：确定置信区间
根据给定的卡方分布临界值 ${C}_{0.025}^{2}(4)=11.14$ 和 ${{x}_{0.9}}^{2}(x)=0.48$，计算标准差的置信区间：
$\left[\sqrt{\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{0.975}(n-1)}}, \sqrt{\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{0.025}(n-1)}}\right] = \left[\sqrt{\frac{4 \times 0.05}{11.14}}, \sqrt{\frac{4 \times 0.05}{0.48}}\right] = [0.02, 0.42]$
根据给定的样本观测值，计算样本均值 $\bar{x}$。
步骤 2：计算样本方差
根据样本观测值和样本均值，计算样本方差 $S^2$。
步骤 3：确定置信区间
利用给定的卡方分布临界值，计算标准差的置信区间。
【答案】
$[0.02,0.42]$
【解析】
步骤 1：计算样本均值
样本观测值为：5.23, 5.13, 4.94, 4.81, 5.47
样本均值 $\bar{x} = \frac{1}{5} \sum_{i=1}^{5} x_i = \frac{1}{5} \times (5.23 + 5.13 + 4.94 + 4.81 + 5.47) = 5.12$
步骤 2：计算样本方差
样本方差 $S^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 = \frac{1}{5} \times [(5.23 - 5.12)^2 + (5.13 - 5.12)^2 + (4.94 - 5.12)^2 + (4.81 - 5.12)^2 + (5.47 - 5.12)^2] = 0.05$
步骤 3：确定置信区间
根据给定的卡方分布临界值 ${C}_{0.025}^{2}(4)=11.14$ 和 ${{x}_{0.9}}^{2}(x)=0.48$，计算标准差的置信区间：
$\left[\sqrt{\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{0.975}(n-1)}}, \sqrt{\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{0.025}(n-1)}}\right] = \left[\sqrt{\frac{4 \times 0.05}{11.14}}, \sqrt{\frac{4 \times 0.05}{0.48}}\right] = [0.02, 0.42]$