题目

设 X_1, ldots, X_(n_1) 与 Y_1, ldots, Y_(n_2) 分别是来自正态总体 N(mu_1, sigma_1^2) 与 N(mu_2, sigma_2^2) 的样本，且二者相互独立，S_1^2 与 S_2^2 分别是这两个样本的样本方差，则 (sigma_1^2)/(sigma_2^2) 的 1-alpha 置信度的置信区间为(） A. ((S_1^2 / S_2^2)/(F_(alpha/2)(n_1-1, n_2-1)), (S_1^2 / S_2^2)/(F_(1-alpha/2)(n_1-1, n_2-1)) )B. ((S_1^2 / S_2^2)/(F_(1-alpha/2)(n_1-1, n_2-1)), (S_1^2 / S_2^2)/(F_(alpha/2)(n_1-1, n_2-1)) )C. ((S_1^2 / S_2^2)/(F_(alpha/2)(n_1, n_2)), (S_1^2 / S_2^2)/(F_(1-alpha/2)(n_1, n_2)) )D. ((S_1^2 / S_2^2)/(F_(1-alpha/2)(n_1, n_2)), (S_1^2 / S_2^2)/(F_(alpha/2)(n_1, n_2)) )

设 $X_1, \ldots, X_{n_1}$ 与 $Y_1, \ldots, Y_{n_2}$ 分别是来自正态总体 $N(\mu_1, \sigma_1^2)$ 与 $N(\mu_2, \sigma_2^2)$ 的样本，且二者相互独立，$S_1^2$ 与 $S_2^2$ 分别是这两个样本的样本方差，则 $\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}$ 的 $1-\alpha$ 置信度的置信区间为(）

  • A. $\left(\frac{S_1^2 / S_2^2}{F_{\alpha/2}(n_1-1, n_2-1)}, \frac{S_1^2 / S_2^2}{F_{1-\alpha/2}(n_1-1, n_2-1)} \right)$
  • B. $\left(\frac{S_1^2 / S_2^2}{F_{1-\alpha/2}(n_1-1, n_2-1)}, \frac{S_1^2 / S_2^2}{F_{\alpha/2}(n_1-1, n_2-1)} \right)$
  • C. $\left(\frac{S_1^2 / S_2^2}{F_{\alpha/2}(n_1, n_2)}, \frac{S_1^2 / S_2^2}{F_{1-\alpha/2}(n_1, n_2)} \right)$
  • D. $\left(\frac{S_1^2 / S_2^2}{F_{1-\alpha/2}(n_1, n_2)}, \frac{S_1^2 / S_2^2}{F_{\alpha/2}(n_1, n_2)} \right)$

题目解答

答案

设 $F = \frac{S_1^2 / S_2^2}{\sigma_1^2 / \sigma_2^2}$，则 $F \sim F(n_1-1, n_2-1)$。对于给定的置信度 $1-\alpha$，有 \[ P\left(F_{1-\alpha/2}(n_1-1, n_2-1) < F < F_{\alpha/2}(n_1-1, n_2-1)\right) = 1 - \alpha. \] 整理得 \[ P\left(\frac{S_1^2 / S_2^2}{F_{\alpha/2}(n_1-1, n_2-1)} < \frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} < \frac{S_1^2 / S_2^2}{F_{1-\alpha/2}(n_1-1, n_2-1)}\right) = 1 - \alpha. \] 因此，$\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}$ 的 $1-\alpha$ 置信区间为 \[ \boxed{A} \]

解析

本题考察两个正态总体方差比的的置信区间构造，关键在于利用F分布的性质。

步骤1：明确统计量分布

设两个正态总体 $N(\mu_1, \sigma_1^2)$ 和 $N(\mu_2, \sigma_2^2)$ 的样本方差分别为 $S_1^2$ 和 $S_2^2$（样本容量分别为 $n_1, n_2$，则统计量：
$F = \frac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2} \sim F(n_1-1, n_2-1)$
（分子自由度为 $n_1-1$，分母自由度为 $n_2-1$）

步骤2：确定F分布的分位数

对置信度 $1-\alpha$，需找到 $F$ 分布的分位数 $F_{\alpha/2}(n_1-1, n_2-1)$ 和 $F_{1-\alpha/2}(n_1-1, n_2-1)$，满足：
$P\left(F_{1-\alpha/2}(n_1-1, n_2-1) < F < F_{\alpha/2}(n_1-1, n_2-1)\right) = 1-\alpha$

步骤3：解不等式出$\sigma_1^2/\sigma_2^2$

将 $F$ 的表达式代入不等式，整理得：
$F_{1-\alpha/2}(n_1-1, n_2-1) < \frac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2} < F_{\alpha/2}(n_1-1, n_2-1)$
交叉相乘并取倒数（注意不等号反向）：
$\frac{S_1^2/S_2^2}{F_{\alpha/2}(n_1-1, n_2-1)} < \frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^alpha} < \frac{S_1^2/S_2^2}{F_{1-\alpha/2}(n_1-1, n_2-1)}$

步骤4：匹配选项

该区间与选项A完全一致，其他选项的分位数自由度或上下限顺序错误。