题目
9.(填空题，4.8分)4、设总体Xsim N(1，9)，X_(1)，X_(2)，...，X_(n)是来自总体x的简单随机样本，overline(X)，S^2分别为样本均值与样本方差，则(1)/(9)sum_(i=1)^n(X_(i)-overline(X))^2sim____；(1)/(9)sum_(i=1)^n(X_(i)-1)^2sim____。（1）X^2(n-1)（2）X^2(1)
9.(填空题，4.8分)
4、设总体$X\sim N(1，9)$，$X_{1}，X_{2}，\cdots，X_{n}$是来自总体x的简单随机样本，$\overline{X}，S^{2}$分别为样本均值与样本方差，
则$\frac{1}{9}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}\sim$____；$\frac{1}{9}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-1)^{2}\sim$____。
（1）$X^{2}(n-1)$
（2）$X^{2}(1)$
题目解答
答案
1. **表达式1：**
$\sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2 = (n-1)S^2$，由正态总体样本方差性质得
$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}$，代入$\sigma^2 = 9$得
$\frac{1}{9}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2 \sim \chi^2_{n-1}$。
2. **表达式2：**
标准化平方和性质得
$\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{X_i - \mu}{\sigma}\right)^2 \sim \chi^2_n$，代入$\mu = 1$，$\sigma = 3$得
$\frac{1}{9}\sum_{i=1}^{n}(X_i - 1)^2 \sim \chi^2_n$。
**答案：**
\[
\boxed{\chi^2_{n-1}, \chi^2_n}
\]
解析
步骤 1：计算$\frac{1}{9}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}$
根据样本方差的定义，有$\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2} = (n-1)S^{2}$，其中$S^{2}$是样本方差。由于$X\sim N(1，9)$，则$\sigma^{2} = 9$。因此，$\frac{1}{9}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2} = \frac{(n-1)S^{2}}{9} = \frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}$。根据卡方分布的性质，$\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}} \sim \chi^{2}(n-1)$。
步骤 2：计算$\frac{1}{9}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-1)^{2}$
由于$X\sim N(1，9)$，则$X_{i}-1\sim N(0，9)$。因此，$\frac{X_{i}-1}{3}\sim N(0，1)$。根据卡方分布的定义，$\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{X_{i}-1}{3}\right)^{2} \sim \chi^{2}(n)$。因此，$\frac{1}{9}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-1)^{2} = \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{X_{i}-1}{3}\right)^{2} \sim \chi^{2}(n)$。
根据样本方差的定义，有$\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2} = (n-1)S^{2}$，其中$S^{2}$是样本方差。由于$X\sim N(1，9)$，则$\sigma^{2} = 9$。因此，$\frac{1}{9}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2} = \frac{(n-1)S^{2}}{9} = \frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}$。根据卡方分布的性质，$\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}} \sim \chi^{2}(n-1)$。
步骤 2：计算$\frac{1}{9}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-1)^{2}$
由于$X\sim N(1，9)$，则$X_{i}-1\sim N(0，9)$。因此，$\frac{X_{i}-1}{3}\sim N(0，1)$。根据卡方分布的定义，$\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{X_{i}-1}{3}\right)^{2} \sim \chi^{2}(n)$。因此，$\frac{1}{9}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-1)^{2} = \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{X_{i}-1}{3}\right)^{2} \sim \chi^{2}(n)$。