题目
(15分)根据以往数据分析可以假定黄家港的年平均径流量X服从伽马分布,其概率-|||-密度为-|||-(x,alpha ,beta )= ^alpha )(x)^alpha -1exp(-dfrac (x)(beta )),xgt 0 0,xleqslant 0 .-|||-其中I(α)为α的伽马函数,假设参数 alpha gt 1 已知,参数 beta gt 0 未知,x1,x2,···,x18是黄家港-|||-2000-2017 年的18年平均径流量,请根据这18年的数据给出参数β的极大似然估计?
题目解答
答案
解析
步骤 1：写出似然函数
似然函数是基于样本数据的联合概率密度函数，对于给定的样本 $x_1, x_2, \ldots, x_{18}$，似然函数为：
$$
L(\beta) = \prod_{i=1}^{18} f(x_i, \alpha, \beta) = \prod_{i=1}^{18} \frac{1}{\Gamma(\alpha) \beta^\alpha} x_i^{\alpha-1} e^{-\frac{x_i}{\beta}}
$$
步骤 2：取对数似然函数
为了简化计算，我们取对数似然函数：
$$
\ln L(\beta) = \sum_{i=1}^{18} \ln f(x_i, \alpha, \beta) = \sum_{i=1}^{18} \left( -\ln \Gamma(\alpha) - \alpha \ln \beta + (\alpha-1) \ln x_i - \frac{x_i}{\beta} \right)
$$
步骤 3：求导数并令其为0
为了找到极大似然估计，我们需要对 $\beta$ 求导数并令其为0：
$$
\frac{\partial \ln L(\beta)}{\partial \beta} = -\frac{18 \alpha}{\beta} + \frac{1}{\beta^2} \sum_{i=1}^{18} x_i = 0
$$
步骤 4：解方程求 $\beta$
解上述方程，得到：
$$
-\frac{18 \alpha}{\beta} + \frac{1}{\beta^2} \sum_{i=1}^{18} x_i = 0
$$
$$
\frac{1}{\beta^2} \sum_{i=1}^{18} x_i = \frac{18 \alpha}{\beta}
$$
$$
\sum_{i=1}^{18} x_i = 18 \alpha \beta
$$
$$
\beta = \frac{\sum_{i=1}^{18} x_i}{18 \alpha} = \frac{\overline{x}}{\alpha}
$$
似然函数是基于样本数据的联合概率密度函数，对于给定的样本 $x_1, x_2, \ldots, x_{18}$，似然函数为：
$$
L(\beta) = \prod_{i=1}^{18} f(x_i, \alpha, \beta) = \prod_{i=1}^{18} \frac{1}{\Gamma(\alpha) \beta^\alpha} x_i^{\alpha-1} e^{-\frac{x_i}{\beta}}
$$
步骤 2：取对数似然函数
为了简化计算，我们取对数似然函数：
$$
\ln L(\beta) = \sum_{i=1}^{18} \ln f(x_i, \alpha, \beta) = \sum_{i=1}^{18} \left( -\ln \Gamma(\alpha) - \alpha \ln \beta + (\alpha-1) \ln x_i - \frac{x_i}{\beta} \right)
$$
步骤 3：求导数并令其为0
为了找到极大似然估计，我们需要对 $\beta$ 求导数并令其为0：
$$
\frac{\partial \ln L(\beta)}{\partial \beta} = -\frac{18 \alpha}{\beta} + \frac{1}{\beta^2} \sum_{i=1}^{18} x_i = 0
$$
步骤 4：解方程求 $\beta$
解上述方程，得到：
$$
-\frac{18 \alpha}{\beta} + \frac{1}{\beta^2} \sum_{i=1}^{18} x_i = 0
$$
$$
\frac{1}{\beta^2} \sum_{i=1}^{18} x_i = \frac{18 \alpha}{\beta}
$$
$$
\sum_{i=1}^{18} x_i = 18 \alpha \beta
$$
$$
\beta = \frac{\sum_{i=1}^{18} x_i}{18 \alpha} = \frac{\overline{x}}{\alpha}
$$