题目

下列极限存在的是()。A lim(xto0) sin x / xB lim(xtoinfty) (1+1/x)^xC lim(xto0) 1/xD lim(xtoinfty) sin xE lim(xto0) x sin (1/x)

下列极限存在的是()。 A $\lim(x\to0) \sin x / x$ B $\lim(x\to\infty) (1+1/x)^x$ C $\lim(x\to0) 1/x$ D $\lim(x\to\infty) \sin x$ E $\lim(x\to0) x \sin (1/x)$

题目解答

答案

**答案：A, B, E** **解析：** A. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ 由泰勒展开或洛必达法则，$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，极限存在。 B. $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ 该极限为欧拉数 $e$ 的定义，$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$，极限存在。 C. $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}$ 当 $x$ 趋近于 0 时，$\frac{1}{x}$ 趋近于无穷大（正或负），极限不存在。 D. $\lim_{x \to \infty} \sin x$ $\sin x$ 在 -1 和 1 之间 oscillate，无确定极限，极限不存在。 E. $\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x}$ 由挤压定理，$\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0$，极限存在。 **结论：** 极限存在的选项为 A、B、E。 $\boxed{A, B, E}$

解析

考查要点：本题主要考查极限的存在性判断，涉及基本极限、重要极限、无穷振荡、夹逼定理等知识点。

解题核心思路：

基本极限：如$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$属于基础极限，需直接记忆结果。
重要极限：如$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$，需明确其定义。
无穷振荡：如$\lim_{x \to \infty} \sin x$因无界振荡而极限不存在。
夹逼定理：如$\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x}$需通过绝对值放缩判断极限。

破题关键点：

区分极限存在与不存在的条件：如无穷大、振荡无界、左右极限不一致等情况均导致极限不存在。
灵活运用定理：如洛必达法则、夹逼定理等工具辅助判断。

选项A：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$

方法一：泰勒展开

$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \cdots$，代入得：
$\frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{x^2}{6} + \cdots \xrightarrow{x \to 0} 1$

方法二：洛必达法则

分子分母均趋近于0，求导后：
$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = \cos 0 = 1$
结论：极限存在，值为1。

选项B：$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$

定义法

根据欧拉数$e$的定义：
$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$
结论：极限存在，值为$e$。

选项C：$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}$

左右极限分析

当$x \to 0^+$时，$\frac{1}{x} \to +\infty$；
当$x \to 0^-$时，$\frac{1}{x} \to -\infty$；
结论：左右极限不一致，极限不存在。

选项D：$\lim_{x \to \infty} \sin x$

振荡性分析

$\sin x$在$[-1, 1]$间无限振荡，无确定趋势。
结论：极限不存在。

选项E：$\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x}$

夹逼定理

因$|\sin \frac{1}{x}| \leq 1$，故：
$|x \sin \frac{1}{x}| \leq |x| \xrightarrow{x \to 0} 0$
由夹逼定理得：
$\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0$
结论：极限存在，值为0。