设总体X的密度函数为f（x）= θcθx?(θ+1) x＞c 0 x≤c ．其中c＞0是已知常数，而θ＞1是未知参数．（X1，X2，…，Xn）是从该总体中抽取的一个样本，试求参数θ的最大似然估计量．

考查要点：本题主要考查最大似然估计的应用，需要根据给定的密度函数构造似然函数，并通过求导找到参数θ的最大似然估计量。

解题核心思路：

1. 构造似然函数：将样本中每个观测值的概率密度相乘，得到关于θ的函数。
2. 取对数简化计算：对似然函数取自然对数，转化为求和形式，便于求导。
3. 求导并解方程：对θ求导，令导数为零，解方程得到θ的估计值。
4. 验证唯一驻点：确认解为极大值点（本题中通过函数性质可直接确定）。

破题关键点：

• 正确写出似然函数，注意密度函数的分段形式。
• 对数似然函数的展开与求导，特别注意指数项的处理。
• 代数运算的准确性，避免符号错误。

构造似然函数

样本$(X_1, X_2, \dots, X_n)$中每个观测值均大于$c$，因此似然函数为：
$L(\theta) = \prod_{i=1}^n f(X_i) = \prod_{i=1}^n \left[ \theta c^\theta X_i^{-(\theta+1)} \right]$
展开后整理得：
$L(\theta) = \theta^n c^{\theta n} \left( \prod_{i=1}^n X_i \right)^{-(\theta+1)}$

取对数并简化

对数似然函数为：
$\ln L(\theta) = n \ln \theta + n \theta \ln c - (\theta + 1) \sum_{i=1}^n \ln X_i$

求导并解方程

对$\theta$求导：
$\frac{d}{d\theta} \ln L(\theta) = \frac{n}{\theta} + n \ln c - \sum_{i=1}^n \ln X_i$
令导数为零，解得：
$\frac{n}{\theta} + n \ln c - \sum_{i=1}^n \ln X_i = 0 \quad \Rightarrow \quad \hat{\theta} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln X_i - n \ln c}$

验证极大值

二阶导数为负，说明该驻点为极大值点，故$\hat{\theta}$即为最大似然估计量。