题目
高等数学2(下)期末练习题定积分应用练习题1.计算由曲线y=x^2,y^3=x所围平面图形的面积及该平面图形绕x轴旋转而成的立体体积。2.计算由抛物线y^2=2x与直线y=x-4所围平面图形的面积.3.计算由曲线y=x^3,x=2,y=0所围平面图形的面积及该平面图形分别绕x轴和y轴旋转而成的立体体积。4.求椭圆(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1的面积.
高等数学2(下)期末练习题
定积分应用练习题
1.计算由曲线$y=x^{2},y^{3}=x$所围平面图形的面积及该平面图形
绕x轴旋转而成的立体体积。
2.计算由抛物线$y^{2}=2x$与直线$y=x-4$所围平面图形的面积.
3.计算由曲线$y=x^{3},x=2,y=0$所围平面图形的面积及该平面图形分别
绕x轴和y轴旋转而成的立体体积。
4.求椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$的面积.
题目解答
答案
1. **面积**：
交点为 $(0,0)$ 和 $(1,1)$，
$A = \int_0^1 (x^{1/3} - x^2) \, dx = \frac{5}{12}$。
**体积**：
$V_x = \pi \int_0^1 (x^{2/3} - x^4) \, dx = \frac{2\pi}{5}$。
2. **面积**：
交点为 $(2,-2)$ 和 $(8,4)$，
$A = \int_{-2}^4 [(y+4) - \frac{y^2}{2}] \, dy = 18$。
3. **面积**：
$A = \int_0^2 x^3 \, dx = 4$。
**体积**：
绕 $x$ 轴：$V_x = \frac{128\pi}{7}$，
绕 $y$ 轴：$V_y = \frac{64\pi}{5}$。
4. **面积**：
$A = \pi ab$。
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
1. & \frac{5}{12}, \frac{2\pi}{5} \\
2. & 18 \\
3. & 4, \frac{128\pi}{7}, \frac{64\pi}{5} \\
4. & \pi ab \\
\end{array}
}
\]