题目
(3)设X_(1)sim N(1,2),X_(2)sim N(0,3),X_(3)sim N(2,1),且X_(1),X_(2),X_(3)相互独立，则P0leq2X_{1)+3X_(2)-X_(3)leq6}=_____.
(3)设$X_{1}\sim N(1,2)$,$X_{2}\sim N(0,3)$,$X_{3}\sim N(2,1)$,且$X_{1}$,$X_{2}$,$X_{3}$相互独立，则$P\{0\leq2X_{1}+3X_{2}-X_{3}\leq6\}=$_____.
题目解答
答案
设 $ Y = 2X_1 + 3X_2 - X_3 $，则 $ Y $ 服从正态分布。
计算均值：
\[
E(Y) = 2E(X_1) + 3E(X_2) - E(X_3) = 2 \times 1 + 3 \times 0 - 2 = 0
\]
计算方差：
\[
D(Y) = 4D(X_1) + 9D(X_2) + D(X_3) = 4 \times 2 + 9 \times 3 + 1 = 36
\]
故 $ Y \sim N(0, 36) $。
标准化得 $ Z = \frac{Y}{6} \sim N(0, 1) $，求
\[
P(0 \le Y \le 6) = P(0 \le Z \le 1) = \Phi(1) - \Phi(0) \approx 0.8413 - 0.5 = 0.3413
\]
答案：$\boxed{0.3413}$
解析
步骤 1：定义随机变量 $Y$
定义 $Y = 2X_1 + 3X_2 - X_3$，其中 $X_1, X_2, X_3$ 相互独立，且分别服从正态分布 $N(1,2)$, $N(0,3)$, $N(2,1)$。
步骤 2：计算 $Y$ 的均值
由于 $X_1, X_2, X_3$ 相互独立，$Y$ 的均值为：
\[ E(Y) = 2E(X_1) + 3E(X_2) - E(X_3) = 2 \times 1 + 3 \times 0 - 2 = 0 \]
步骤 3：计算 $Y$ 的方差
$Y$ 的方差为：
\[ D(Y) = 4D(X_1) + 9D(X_2) + D(X_3) = 4 \times 2 + 9 \times 3 + 1 = 36 \]
步骤 4：标准化 $Y$
由于 $Y \sim N(0, 36)$，标准化得 $Z = \frac{Y}{6} \sim N(0, 1)$。
步骤 5：计算概率
求 $P(0 \le Y \le 6)$，即 $P(0 \le Z \le 1)$，利用标准正态分布表：
\[ P(0 \le Z \le 1) = \Phi(1) - \Phi(0) \approx 0.8413 - 0.5 = 0.3413 \]
定义 $Y = 2X_1 + 3X_2 - X_3$，其中 $X_1, X_2, X_3$ 相互独立，且分别服从正态分布 $N(1,2)$, $N(0,3)$, $N(2,1)$。
步骤 2：计算 $Y$ 的均值
由于 $X_1, X_2, X_3$ 相互独立，$Y$ 的均值为：
\[ E(Y) = 2E(X_1) + 3E(X_2) - E(X_3) = 2 \times 1 + 3 \times 0 - 2 = 0 \]
步骤 3：计算 $Y$ 的方差
$Y$ 的方差为：
\[ D(Y) = 4D(X_1) + 9D(X_2) + D(X_3) = 4 \times 2 + 9 \times 3 + 1 = 36 \]
步骤 4：标准化 $Y$
由于 $Y \sim N(0, 36)$，标准化得 $Z = \frac{Y}{6} \sim N(0, 1)$。
步骤 5：计算概率
求 $P(0 \le Y \le 6)$，即 $P(0 \le Z \le 1)$，利用标准正态分布表：
\[ P(0 \le Z \le 1) = \Phi(1) - \Phi(0) \approx 0.8413 - 0.5 = 0.3413 \]