4.极限lim_(xtoinfty)((3x+1)/(3x))^2x的值为（）。A. e^2B. e^(1)/(2)C. e^-(1)/(2)D. e^(2)/(3)

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是涉及指数函数形式的极限求解方法。需要掌握重要极限公式的应用，以及自然对数与指数函数的转换技巧。

解题核心思路：
当遇到形如$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{a}{x}\right)^{kx}$的极限时，可将其转化为自然指数形式，利用已知极限$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$进行求解。关键步骤包括：

1. 将底数变形为$1 + \frac{1}{\text{某项}}$的形式；
2. 利用泰勒展开或等价无穷小替换简化对数表达式；
3. 结合指数与对数的运算性质求解最终结果。

步骤1：将原式转换为自然指数形式
原式为：
$\lim_{x \to \infty} \left( \frac{3x+1}{3x} \right)^{2x} = \lim_{x \to \infty} \exp\left( 2x \cdot \ln\left( \frac{3x+1}{3x} \right) \right)$

步骤2：化简对数内的表达式
将分数变形为：
$\frac{3x+1}{3x} = 1 + \frac{1}{3x}$
当$x \to \infty$时，$\frac{1}{3x} \to 0$，利用泰勒展开或等价无穷小替换：
$\ln\left(1 + \frac{1}{3x}\right) \approx \frac{1}{3x}$

步骤3：代入并计算极限
将近似结果代入原式：
$\lim_{x \to \infty} 2x \cdot \frac{1}{3x} = \frac{2}{3}$
因此，原极限为：
$\exp\left(\frac{2}{3}\right) = e^{\frac{2}{3}}$