下列哪些函数在单位圆周 |z|=1 上的积分为零？A. f(z)=(1)/(z)B. f(z)=z^2C. f(z)=sin zD. f(z)=(1)/(z^2)

本题考查复变函数沿闭合曲线的积分，主要运用柯西积分定理和柯西积分公式来判断函数在单位圆周 $|z| = 1$ 上的积分是否为零。

柯西积分定理

如果函数 $f(z)$ 在单连通区域 $D$ 内解析，$C$ 为 $D$ 内的任意一条简单闭合曲线，那么 $\oint_{C} f(z) dz = 0$。

柯西积分公式

设 $f(z)$ 在简单闭合曲线 $C$ 所围成的区域 $D$ 内解析，在 $\overline{D}=D + C$ 上连续，$z_0$ 是 $C$ 内的一点，则 $\oint_{C} \frac{f(z)}{z - z_0} dz = 2\pi i f(z_0)$。

对各选项的分析

• 选项A：$f(z)=\frac{1}{z}$
  函数 $f(z)=\frac{1}{z}$ 在 $z = 0$ 处不解析，而单位圆周 $|z| = 1$ 所围成的区域包含 $z = 0$ 这一点。
  根据柯西积分公式，此时 $f(z)=1$，$z_0 = 0$，则 $\oint_{|z| = 1} \frac{1}{z} dz = 2\pi i f(0)=2\pi i\times1 = 2\pi i\neq 0$。
• 选项B：$f(z)=z^2$
  函数 $f(z)=z^2$ 是一个整函数，即在整个复平面上都是解析的。
  单位圆周 $|z| = 1$ 是复平面内的一条简单闭合曲线，根据柯西积分定理，$\oint_{|z| = 1} z^2 dz = 0$。
• 选项C：$f(z)=\sin z$
  函数 $f(z)=\sin z$ 也是一个整函数，在整个复平面上解析。
  同样根据柯西积分定理，对于单位圆周 $|z| = 1$，有 $\oint_{|z| = 1} \sin z dz = 0$。
• 选项D：$f(z)=\frac{1}{z^2}$
  函数 $f(z)=\frac{1}{z^2}$ 在 $z = 0$ 处不解析，但我们可以使用高阶导数公式来计算积分。
  高阶导数公式为：设 $f(z)$ 在简单闭合曲线 $C$ 所围成的区域 $D$ 内解析，在 $\overline{D}=D + C$ 上连续，$z_0$ 是 $C$ 内的一点，则 $f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_{C} \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n + 1}} dz$，变形可得 $\oint_{C} \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n + 1}} dz=\frac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(z_0)$。
  对于 $f(z)=\frac{1}{z^2}$，可写成 $\frac{f(z)}{(z - 0)^{2}}$ 的形式，这里 $n = 1$，$f(z)=1$，$f^\prime(z)=0$。
  则 $\oint_{|z| = 1} \frac{1}{z^2} dz=\frac{2\pi i}{1!}f^\prime(0)=2\pi i\times0 = 0$。