题目
4.从均值为500、方差为225的总体中，利用简单随机抽样的方法抽取一个样本容量为100的样本，其样本均值服从什么分布?样本均值的期望值和方差值各是什么?
4.从均值为500、方差为225的总体中，利用简单随机抽样的方法抽取一个样本容量为100的样本，其样本均值服从什么分布?样本均值的期望值和方差值各是什么?
题目解答
答案
为了确定样本均值的分布以及其期望值和方差值，我们可以使用中心极限定理。中心极限定理指出，对于一个足够大的样本，样本均值的分布将接近正态分布，无论总体的分布如何。
已知：
- 总体均值 $\mu = 500$
- 总体方差 $\sigma^2 = 225$
- 样本容量 $n = 100$
### 步骤1：确定样本均值的分布
根据中心极限定理，样本均值 $\bar{X}$ 的分布将接近正态分布，因为样本容量 $n = 100$ 足够大。
### 步骤2：计算样本均值的期望值
样本均值的期望值等于总体均值。因此，
\[
E(\bar{X}) = \mu = 500
\]
### 步骤3：计算样本均值的方差
样本均值的方差由下式给出：
\[
\text{Var}(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}
\]
代入给定的值，我们得到：
\[
\text{Var}(\bar{X}) = \frac{225}{100} = 2.25
\]
### 步骤4：写出样本均值的分布
由于样本均值的分布接近正态分布，均值为500，方差为2.25，我们可以写成：
\[
\bar{X} \sim N(500, 2.25)
\]
### 最终答案
样本均值服从均值为500，方差为2.25的正态分布。样本均值的期望值是500，样本均值的方差是2.25。
\[
\boxed{N(500, 2.25), 500, 2.25}
\]
解析
步骤 1：确定样本均值的分布
根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本均值的分布将接近正态分布。这里，样本容量为100，足够大，因此样本均值的分布将接近正态分布。
步骤 2：计算样本均值的期望值
样本均值的期望值等于总体均值。因此，样本均值的期望值为500。
步骤 3：计算样本均值的方差
样本均值的方差由下式给出：\[ \text{Var}(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n} \] 其中，$\sigma^2$ 是总体方差，$n$ 是样本容量。代入给定的值，我们得到：\[ \text{Var}(\bar{X}) = \frac{225}{100} = 2.25 \]
步骤 4：写出样本均值的分布
由于样本均值的分布接近正态分布，均值为500，方差为2.25，我们可以写成：\[ \bar{X} \sim N(500, 2.25) \]
根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本均值的分布将接近正态分布。这里，样本容量为100，足够大，因此样本均值的分布将接近正态分布。
步骤 2：计算样本均值的期望值
样本均值的期望值等于总体均值。因此，样本均值的期望值为500。
步骤 3：计算样本均值的方差
样本均值的方差由下式给出：\[ \text{Var}(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n} \] 其中，$\sigma^2$ 是总体方差，$n$ 是样本容量。代入给定的值，我们得到：\[ \text{Var}(\bar{X}) = \frac{225}{100} = 2.25 \]
步骤 4：写出样本均值的分布
由于样本均值的分布接近正态分布，均值为500，方差为2.25，我们可以写成：\[ \bar{X} \sim N(500, 2.25) \]