题目

[单选题]-|||-设(x1,x2,···,xn)为来自总体x的样本, E(X)=-|||-μ, (X)=(sigma )^2, X、s^2分别为样本均值和样本-|||-方差,则下列说法不正确的是 ()-|||-A.元为总体均值μ的无偏估计-|||-B.作为总体均值μ的估计, =dfrac (1)(2) 时, (x)_(1)+dfrac (1)(3)-|||-_(2)+dfrac (1)(6)(x)_(3) 比元更有效-|||-C.s^2为总体方差σ^2的无偏估计

$\begin {aligned} &【单选题】\\ &设 (x_1, x_2, {{\ldots}} x_n) 为来自总体 x 的样本, E(X)=\\&\mu, D(X)=\sigma^2, \bar{X} 、 s^2 分别为样本均值和样本\\&方差,则下列说法不正确的是( {{\quad}})\\ &A. \bar{x} 为总体均值 \mu 的无偏估计\\ &B. 作为总体均值 \mu 的估计, a=\frac{1}{2} 时, a x_1+\frac{1}{3}\\& x_2+\frac{1}{6} x_3 比 \bar{x} 更有效\\ &C. s^2为总体方差\sigma^2 的无偏估计 \end {aligned}$

题目解答

答案

$\begin {aligned} &答案是 B. 作为总体均值 \mu 的估计, a=\frac{1}{2} 时, a x_1\\&+\frac{1}{3} x_2+\frac{1}{6} x_3 比 \bar{x} 更有效。 \\ &解析： \\ &A. \bar{x} 为总体均值 \mu 的无偏估计，这是正确的。\\&样本均值 \bar{x} 是总体均值 \mu 的无偏估计，即 E(\bar{X})\\& = \mu。 \\ &C. s^2 为总体方差 \sigma^2 的无偏估计，这也是正确\\&的。样本方差 s^2 是总体方差 \sigma^2 的无偏估计，即\\& E(s^2) = \sigma^2。 \end {aligned}$ $\begin {aligned} &B. 作为总体均值 \mu 的估计, a=\frac{1}{2} 时, a x_1+\frac{1}{3}\\& x_2+\frac{1}{6} x_3 比 \bar{x} 更有效，这是不正确的。要判\\&断估计的效率，可以使用均方误差（MSE）\\&来衡量。对于无偏估计，MSE 表示为： \\ &MSE = 方差(估计) + (偏差(估计))^2 \\ &在这里，a x_1+\frac{1}{3} x_2+\frac{1}{6} x_3 是一个估计，而\\& \bar{x} 也是一个估计。如果 a=\frac{1}{2}，我们可以计算两\\&者的 MSE。 \end {aligned}$ $\begin {aligned} &对于 a x_1+\frac{1}{3} x_2+\frac{1}{6} x_3 的方差，可以计算为\\&： \\ &{Var}(a x_1+\frac{1}{3} x_2+\frac{1}{6} x_3) =\\& a^2 {Var}(x_1) + \left(\frac{1}{3}\right)^2 {Var}(x_2) + \left(\frac{1}{6}\right)^2 {Var}(x_3) \\ &= \left(\frac{1}{2}\right)^2 \sigma^2 + \left(\frac{1}{3}\right)^2 \sigma^2 + \left(\frac{1}{6}\right)^2 \sigma^2 \\ &= \frac{1}{4} \sigma^2 + \frac{1}{9} \sigma^2 + \frac{1}{36} \sigma^2 \\ &= \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{36}\right) \sigma^2 \\ &= \left(\frac{9}{36} + \frac{4}{36} + \frac{1}{36}\right) \sigma^2 \\ &= \frac{14}{36} \sigma^2 \\ &= \frac{7}{18} \sigma^2 \\ &对于 \bar{x} 的方差，可以计算为： \\ &{Var}(\bar{X}) = {Var}\left(\frac{1}{n} {{\sum}}_{i=1}^{n} x_i\right) \\ \end {aligned}$ $\begin {aligned} &= \frac{1}{n^2} {{\sum}}_{i=1}^{n} {Var}(x_i) \\ &= \frac{1}{n^2} \cdot n \cdot \sigma^2 \\ &= \frac{1}{n} \sigma^2 \\ &所以，\bar{x} 的方差为 \frac{1}{n} \sigma^2。 \\ &现在，我们比较两者的 MSE： \\ &MSE(a x_1+\frac{1}{3} x_2+\frac{1}{6} x_3) = 方差(a x_1+\frac{1}{3}\\& x_2+\frac{1}{6} x_3) + (偏差(a x_1+\frac{1}{3} x_2+\frac{1}{6} x_3))^2 \\ &= \left(\frac{7}{18} \sigma^2\right) + \left(\mu - \frac{1}{2} \mu - \frac{1}{3} \mu - \frac{1}{6} \mu\right)^2 \\ &= \frac{7}{18} \sigma^2 + \left(\mu - \frac{1}{2} \mu - \frac{1}{3} \mu - \frac{1}{6} \mu\right)^2 \\ &= \frac{7}{18} \sigma^2 + \left(\frac{1}{6} \mu\right)^2 \\ &= \frac{7}{18} \sigma^2 + \frac{1}{36} \mu^2 \end {aligned}$ $\begin {aligned} &MSE(\bar{x}) = 方差(\bar{X}) + (偏差(\bar{X}))^2 \\ &= \left(\frac{1}{n} \sigma^2\right) + \left(\mu - \mu\right)^2 \\ &= \frac{1}{n} \sigma^2 + 0 \\ &现在我们可以比较两者的 MSE。要比较哪个\\&估计更有效，我们希望 MSE 较小。 \\ &MSE(a x_1+\frac{1}{3} x_2+\frac{1}{6} x_3) = \frac{7}{18} \sigma^2 + \frac{1}{36} \mu^2 \\ &MSE(\bar{x}) = \frac{1}{n} \sigma^2 \\ &对于任何给定的 \sigma^2 和 \mu，只要 n 不等于 18，都会\\&有 MSE(a x_1+\frac{1}{3} x_2+\frac{1}{6} x_3) > MSE(\bar{x})。\\&因此，a x_1+\frac{1}{3} x_2+\frac{1}{6} x_3 不会比 \bar{x} 更有效，除\\&非 n 等于 18。所以选项 B 不正确。 \end {aligned}$