题目

20.(本小题满分12分)近年来,明代著名医药学家李时珍故乡黄冈市蕲春县大力发展大-|||-健康产业,蕲艾产业化种植已经成为该县脱贫攻坚的主要产业之一,已知蕲艾的株-|||-高y(单位:cm)与一定范围内的温度x(单位:℃)有关,现收集了蕲艾的13组观测数-|||-据,得到如下的散点图:-|||-株高y(cm)↑-|||-112-|||-111-|||-110-|||-109-|||-108-|||-107-|||-1060 2 2 6 6 8 10 1014 16 18 温度x(℃)-|||-(第20题)-|||-现根据散点图利用 =a+bsqrt (x) 或 =c+dfrac (d)(x) 建立y关于x的回归方程,令 =sqrt (x) =-|||-dfrac (1)(x) 得到如下数据:-|||-x y s t-|||-10.15 109.94 3.04 0.16-|||-sum _(i=1)^13(S)_(i)(y)_(i)-13overline (s) y sum _(i=1)^13(t)_(i)(y)_(i)-13overline (i) y sum _(i=1)^13({s)_(i)}^2-13(overline {{s)^2} sum _(i=1)^13({t)_(i)}^2-13(t)^2 sum _(i=1)^13({y)_(i)}^2-13(overline {y)}^2-|||-13.94 -2.1 11.67 0.21 21.22-|||-且(si,yi)与 ((t)_(i),(y)_(i))(i=1,2,3,... ,13) 的相关系数分别为r1,r2,且 _(2)=-0.9953.-|||-(1)用相关系数说明哪种模型建立y与x的回归方程更合适;-|||-(2)根据(1)的结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;-|||-(3)已知蕲艾的利润z与x,y的关系为 =20y-dfrac (1)(2)x, 当x为何值时,z的预报值-|||-最大.-|||-参考数据和公式 .21times 21.22=4.4562.11.67times 21.22=247.6374 sqrt (247.6374)=-|||-15.7365,对于一组数据 ((u)_(i),(v)_(i))(i=1,2,3,... ,n), 其回归直线方程 =alpha +beta u 的斜率-|||-和截距的最小二乘法估计分别为 beta =dfrac (sum _{i=1)^n(u)_(i)(v)_(i)-noverline (u)cdot overline (v)}(sum _{i=1)^n({u)_(i)}^2-n(overline {u)}^2} overline (alpha )=overline (v)-hat (beta )overline (u), 相关系数 r=-|||-之u1vi-nu·v-|||-√u^2-na^2·√2v^2-n^2

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查回归分析模型的选择、回归方程的建立及最优化问题。
解题思路：

  1. 模型选择：通过计算两种模型的相关系数绝对值，选择相关性更高的模型。
  2. 回归方程：利用最小二乘法公式，结合题目提供的数据计算回归系数。
  3. 利润最大化：将利润表达式转化为关于$x$的函数，通过不等式或求导找到极值点。
    关键点：
  • 相关系数的计算与比较；
  • 最小二乘法公式的应用；
  • 均值不等式或导数法求极值。

第（1）题

相关系数比较

  1. 计算$r_1$：
    根据公式，相关系数$r_1$为：
    $r_1 = \frac{\sum s_i y_i - 13\overline{s}\overline{y}}{\sqrt{\left(\sum s_i^2 - 13\overline{s}^2\right)\left(\sum y_i^2 - 13\overline{y}^2\right)}} = \frac{13.94}{\sqrt{11.67 \times 21.22}} = \frac{13.94}{15.7365} \approx 0.8858$
  2. 比较绝对值：
    已知$r_2 = -0.9953$，则$|r_2| = 0.9953 > |r_1| = 0.8858$。
    结论：模型$y = c + \dfrac{d}{x}$更合适。

第（2）题

建立回归方程

  1. 计算斜率$\hat{d}$：
    根据最小二乘法公式：
    $\hat{d} = \frac{\sum t_i y_i - 13\overline{t}\overline{y}}{\sum t_i^2 - 13\overline{t}^2} = \frac{-2.1}{0.21} = -10$
  2. 计算截距$\hat{c}$：
    $\hat{c} = \overline{y} - \hat{d}\overline{t} = 109.94 - (-10) \times 0.16 = 111.54$
    回归方程：
    $\hat{y} = 111.54 - \frac{10}{x}$

第（3）题

利润最大化

  1. 利润表达式：
    $\hat{z} = 20\hat{y} - \frac{1}{2}x = 20\left(111.54 - \frac{10}{x}\right) - \frac{1}{2}x = 2230.8 - \left(\frac{200}{x} + \frac{1}{2}x\right)$
  2. 最小化$\frac{200}{x} + \frac{1}{2}x$：
    由均值不等式，当$\frac{200}{x} = \frac{1}{2}x$时，和最小：
    $\frac{200}{x} = \frac{1}{2}x \implies x^2 = 400 \implies x = 20$
    结论：当$x = 20$时，利润预报值最大。