设C为一到1的有向线段,证明 |(int )_(c)^((x^2+i{y)^2)dz|}leqslant 2.

考查要点：本题主要考查复变函数积分的模长估计，涉及积分不等式的应用，即利用被积函数模长的最大值与积分路径长度的乘积来估计积分的模长。

解题核心思路：

1. 确定积分路径：C是从$i$到$-i$的有向线段，位于虚轴上，长度为$2$。
2. 简化被积函数：在路径C上，$x=0$，被积函数$f(z)=x^2 + iy^2$简化为$i y^2$，其模长为$|y^2|$。
3. 求最大值：在$y \in [-1,1]$范围内，$|y^2|$的最大值为$1$。
4. 应用不等式：积分模长不超过最大值与路径长度的乘积。

步骤1：确定积分路径的长度

路径C是从$i$到$-i$的有向线段，对应点$(0,1)$到$(0,-1)$，长度为：
$L = \sqrt{(0-0)^2 + (-1-1)^2} = \sqrt{4} = 2.$

步骤2：分析被积函数在路径上的形式

在路径C上，$x=0$，$z = yi$（$y$从$1$到$-1$），因此被积函数为：
$f(z) = x^2 + iy^2 = 0 + iy^2 = iy^2.$

步骤3：计算被积函数的模长

$|f(z)| = |iy^2| = |i| \cdot |y^2| = 1 \cdot y^2 = y^2.$
在$y \in [-1,1]$时，$y^2$的最大值为$1$（当$y = \pm 1$时）。

步骤4：应用积分模长不等式

根据不等式$|\int_C f(z)dz| \leq M \cdot L$，其中$M=1$，$L=2$，得：
$\left|\int_C (x^2 + iy^2)dz\right| \leq 1 \cdot 2 = 2.$