题目

22.填空题方程组{}kx+y-z=0x+ky-z=02x-y+z=0.仅有零解，则k必须满足____.第1空：

22.填空题 方程组$\left\{\begin{matrix}kx+y-z=0\\x+ky-z=0\\2x-y+z=0\end{matrix}\right.$仅有零解，则k必须满足____. 第1空：

题目解答

答案

将方程组的系数矩阵 $A$ 写出： \[ A = \begin{pmatrix} k & 1 & -1 \\ 1 & k & -1 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix} \] 计算行列式 $\det(A)$： \[ \det(A) = k(k - 1) - 1 \times 3 + (-1) \times (-1 - 2k) = k^2 - k - 3 + 1 + 2k = k^2 + k - 2 = (k + 2)(k - 1) \] 为使方程组仅有零解，$\det(A) \neq 0$，即 $(k + 2)(k - 1) \neq 0$。 解得 $k \neq -2$ 且 $k \neq 1$。 **答案：** $\boxed{k \neq 1 \text{ 且 } k \neq -2}$（或$\boxed{k \in \mathbb{R} \setminus \{-2, 1\}}$）

解析

考查要点：本题主要考查齐次线性方程组仅有零解的条件，即系数矩阵的行列式不为零。需要掌握行列式的计算方法及因式分解技巧。

解题核心思路：

  1. 构造系数矩阵：将方程组的系数提取出来，形成矩阵。
  2. 计算行列式：通过展开式或行变换求出行列式的表达式。
  3. 解不等式：令行列式不等于零，求出参数$k$的取值范围。

破题关键点：

  • 行列式非零条件：齐次方程组仅有零解的充要条件是系数矩阵的行列式$\det(A) \neq 0$。
  • 正确展开行列式：注意符号和余子式的计算，避免展开错误。

  1. 构造系数矩阵
    方程组的系数矩阵为：
    $A = \begin{pmatrix} k & 1 & -1 \\ 1 & k & -1 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

  2. 计算行列式
    按第一行展开行列式：
    $\begin{aligned} \det(A) &= k \cdot \begin{vmatrix} k & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} + (-1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & k \\ 2 & -1 \end{vmatrix} \\ &= k(k \cdot 1 - (-1) \cdot (-1)) - 1(1 \cdot 1 - (-1) \cdot 2) + (-1)(1 \cdot (-1) - k \cdot 2) \\ &= k(k - 1) - 1(1 + 2) + (-1)(-1 - 2k) \\ &= k^2 - k - 3 + 1 + 2k \\ &= k^2 + k - 2. \end{aligned}$

  3. 因式分解与解不等式
    将行列式因式分解：
    $k^2 + k - 2 = (k + 2)(k - 1).$
    令$\det(A) \neq 0$，即：
    $(k + 2)(k - 1) \neq 0.$
    解得：
    $k \neq -2 \quad \text{且} \quad k \neq 1.$