某中药厂从某种药材中提取某种有效成分，现在改革提炼方法，对同一质量的药材用新、旧两种方法各做了10次试验，有效成分获得率的平均值分别为：overline(X)_(新)=76.23，overline(X)_(旧)=79.43，有效成分获得率的样本方差分别为：S_(新)^2=3.315，S_(旧)^2=3.085。假设这两组试验样本分别来自正态分布N(mu_(1),sigma_(1)^2)，N(mu_(2),sigma_(2)^2)，且相互独立。试问新方法的获得率是否与旧方法的一样？（alpha=0.01）（t_(0.005)(18)=2.8784）

我们来逐步解决这个假设检验问题。

题目分析

我们要判断新方法的有效成分获得率是否与旧方法一样，即比较两个总体的均值是否有显著差异。

这是一个两独立样本均值的假设检验问题，且已知：

• 两组样本来自正态总体，相互独立；
• 样本容量均为 $ n_1 = n_2 = 10 $；
• 样本均值：
  • $ \bar{X}_{\text{新}} = 76.23 $
  • $ \bar{X}_{\text{旧}} = 79.43 $
• 样本方差：
  • $ S_{\text{新}}^2 = 3.315 $
  • $ S_{\text{旧}}^2 = 3.085 $
• 显著性水平 $ \alpha = 0.01 $
• 给出临界值：$ t_{0.005}(18) = 2.8784 $

第一步：提出假设

我们检验的是“新方法是否与旧方法一样”，即是否存在显著差异。

这是一个双侧检验：

$H_0: \mu_1 = \mu_2 \quad \text{（新旧方法均值相同）}$
$H_1: \mu_1 \neq \mu_2 \quad \text{（新旧方法均值不同）}$

其中：

• $ \mu_1 $：新方法总体均值
• $ \mu_2 $：旧方法总体均值

第二步：选择检验统计量

由于：

• 两个总体服从正态分布；
• 样本量较小（$ n=10 < 30 $）；
• 总体方差未知，但题目未说明是否相等；
• 但样本方差非常接近：$ S_{\text{新}}^2 = 3.315 $，$ S_{\text{旧}}^2 = 3.085 $，比值接近1；

我们可以先假设两总体方差相等（齐性），然后使用两样本t检验（合并方差）。

检验方差齐性（可选，但题目未要求，且方差接近，可直接假设相等）

我们直接假设 $ \sigma_1^2 = \sigma_2^2 $，使用合并t检验。

第三步：计算检验统计量

两独立样本t检验统计量（方差齐性）为：

$t = \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{S_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}$

其中，$ S_p^2 $ 是合并方差：

$S_p^2 = \frac{(n_1 - 1)S_1^2 + (n_2 - 1)S_2^2}{n_1 + n_2 - 2}$

代入数据：

$S_p^2 = \frac{(10 - 1) \times 3.315 + (10 - 1) \times 3.085}{10 + 10 - 2} = \frac{9 \times (3.315 + 3.085)}{18}$

$= \frac{9 \times 6.4}{18} = \frac{57.6}{18} = 3.2$

所以 $ S_p = \sqrt{3.2} \approx 1.7889 $

现在计算t值：

$t = \frac{76.23 - 79.43}{\sqrt{3.2} \times \sqrt{\frac{1}{10} + \frac{1}{10}}} = \frac{-3.2}{1.7889 \times \sqrt{0.2}}$

先算 $ \sqrt{0.2} \approx 0.4472 $

所以分母为：

$1.7889 \times 0.4472 \approx 0.8000$

（精确计算：1.7889 × 0.4472 ≈ 0.8000，刚好）

因此：

$t = \frac{-3.2}{0.8} = -4.0$

第四步：确定拒绝域

自由度为：

$df = n_1 + n_2 - 2 = 10 + 10 - 2 = 18$

双侧检验，$ \alpha = 0.01 $，所以每侧 0.005

临界值为：$ t_{0.005}(18) = 2.8784 $

拒绝域为：$ |t| > 2.8784 $

第五步：做出决策

计算得 $ |t| = 4.0 > 2.8784 $

所以拒绝原假设 $ H_0 $

第六步：结论

在显著性水平 $ \alpha = 0.01 $ 下，有充分证据表明新方法与旧方法的有效成分获得率存在显著差异。

即：新方法的获得率与旧方法不一样。

进一步看均值：新方法平均为 76.23，旧方法为 79.43，新方法更低，说明新方法获得率显著低于旧方法。

最终答案

$\boxed{ \text{新方法的有效成分获得率与旧方法不一样。在 } \alpha=0.01 \text{ 水平下，拒绝原假设，新方法获得率显著较低。} }$

附：解题过程总结

1. 提出假设：$ H_0: \mu_1 = \mu_2 $，$ H_1: \mu_1 \ne \mu_2 $
2. 假设两总体方差相等，使用两样本t检验（合并方差）
3. 计算合并方差 $ S_p^2 = 3.2 $
4. 计算t统计量：$ t = -4.0 $
5. 自由度18，临界值 $ t_{0.005}(18) = 2.8784 $
6. $ |t| = 4.0 > 2.8784 $，拒绝 $ H_0 $
7. 结论：新旧方法获得率有显著差异，新方法较低。