题目
3.设总体X的均值为μ，方差为σ²，从总体X中抽取样本X_(1),X_(2),...,X_(n)，样本均值为overline(X)，样本方差为S^2，求E(overline(X))，D(overline(X))，E(S^2).
3.设总体X的均值为μ，方差为σ²，从总体X中抽取样本$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$，样本均值为$\overline{X}$，样本方差为$S^{2}$，求$E(\overline{X})$，$D(\overline{X})$，$E(S^{2})$.
题目解答
答案
1. **计算 $E(\overline{X})$**
样本均值 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$，由期望线性性质得：
\[
E(\overline{X}) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_i) = \mu
\]
2. **计算 $D(\overline{X})$**
由方差性质（独立变量可加）得：
\[
D(\overline{X}) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n D(X_i) = \frac{\sigma^2}{n}
\]
3. **计算 $E(S^2)$**
样本方差 $S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$，利用期望和方差关系得：
\[
E(S^2) = \sigma^2
\]
**答案：**
\[
\boxed{
\begin{aligned}
E(\overline{X}) &= \mu, \\
D(\overline{X}) &= \frac{\sigma^2}{n}, \\
E(S^2) &= \sigma^2.
\end{aligned}
}
\]
解析
步骤 1：计算 $E(\overline{X})$
样本均值 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$，由期望线性性质得：
\[ E(\overline{X}) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_i) = \mu \]
步骤 2：计算 $D(\overline{X})$
由方差性质（独立变量可加）得：
\[ D(\overline{X}) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n D(X_i) = \frac{\sigma^2}{n} \]
步骤 3：计算 $E(S^2)$
样本方差 $S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$，利用期望和方差关系得：
\[ E(S^2) = \sigma^2 \]
样本均值 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$，由期望线性性质得：
\[ E(\overline{X}) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_i) = \mu \]
步骤 2：计算 $D(\overline{X})$
由方差性质（独立变量可加）得：
\[ D(\overline{X}) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n D(X_i) = \frac{\sigma^2}{n} \]
步骤 3：计算 $E(S^2)$
样本方差 $S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$，利用期望和方差关系得：
\[ E(S^2) = \sigma^2 \]