①②设 approx N(mu ,(sigma )^2), 其中σ2已知,μ为未知参数.从总体X中抽取容量为16的简单随机样-|||-本,且μ的置信度为0.95的置信区间中的最小长度为0.588,则 (sigma )^2= __ .

本题考查正态总体均值的置信区间构造，核心在于理解置信区间长度与总体方差的关系。当总体方差$\sigma^2$已知时，均值$\mu$的置信区间形式为$\left(\overline{X} - \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} z_{\alpha/2}, \overline{X} + \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} z_{\alpha/2}\right)$，其中$z_{\alpha/2}$为标准正态分布的分位数。置信区间长度由$\dfrac{2\sigma z_{\alpha/2}}{\sqrt{n}}$决定，需通过已知的最小长度反推$\sigma^2$。

1. 确定置信区间长度公式
   置信区间长度为：
   $L = \dfrac{2\sigma z_{\alpha/2}}{\sqrt{n}}$
   其中，$\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$，对应$z_{\alpha/2} = z_{0.025} = 1.96$，样本量$n = 16$。

2. 代入已知条件求解$\sigma$
   题目给出最小长度$L = 0.588$，代入公式：
   $0.588 = \dfrac{2 \cdot \sigma \cdot 1.96}{\sqrt{16}}$
   化简得：
   $0.588 = \dfrac{3.92 \sigma}{4} \implies 0.588 = 0.98 \sigma \implies \sigma = \dfrac{0.588}{0.98} = 0.6$

3. 计算$\sigma^2$
   最终得：
   $\sigma^2 = (0.6)^2 = 0.36$