题目
5.设X_(1),X_(2),...,X_(n)(n>1)是来自总体Xsim N(0,1)的样本，overline(X)与S分别为样本均值和样本标准差，则（）.A. overline(X)sim N(0,1)B. noverline(X)sim N(0,1)C. sum_(i=1)^nX_(i)^2sim chi^2(n)D. (overline(X))/(S)sim t(n-1)
5.设$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}(n>1)$是来自总体$X\sim N(0,1)$的样本，$\overline{X}$与S分别为样本均值和样本标准差，则（）.
A. $\overline{X}\sim N(0,1)$
B. $n\overline{X}\sim N(0,1)$
C. $\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}\sim \chi^{2}(n)$
D. $\frac{\overline{X}}{S}\sim t(n-1)$
题目解答
答案
C. $\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}\sim \chi^{2}(n)$
解析
步骤 1：分析选项A
样本均值 $\overline{X}$ 的分布为 $N\left(0, \frac{1}{n}\right)$，因为样本均值的方差为总体方差除以样本量，即 $\frac{1}{n}$。因此，$\overline{X}$ 不是标准正态分布，选项A错误。
步骤 2：分析选项B
$n\overline{X}$ 的分布为 $N(0, n)$，因为 $n\overline{X}$ 的方差为 $n$，不是标准正态分布，选项B错误。
步骤 3：分析选项C
$\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}$ 是 $n$ 个标准正态变量的平方和，根据卡方分布的定义，它服从 $\chi^{2}(n)$ 分布，选项C正确。
步骤 4：分析选项D
$\frac{\overline{X}}{S}$ 需要乘以 $\sqrt{n}$ 才服从 $t(n-1)$ 分布，原式不满足，选项D错误。
样本均值 $\overline{X}$ 的分布为 $N\left(0, \frac{1}{n}\right)$，因为样本均值的方差为总体方差除以样本量，即 $\frac{1}{n}$。因此，$\overline{X}$ 不是标准正态分布，选项A错误。
步骤 2：分析选项B
$n\overline{X}$ 的分布为 $N(0, n)$，因为 $n\overline{X}$ 的方差为 $n$，不是标准正态分布，选项B错误。
步骤 3：分析选项C
$\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}$ 是 $n$ 个标准正态变量的平方和，根据卡方分布的定义，它服从 $\chi^{2}(n)$ 分布，选项C正确。
步骤 4：分析选项D
$\frac{\overline{X}}{S}$ 需要乘以 $\sqrt{n}$ 才服从 $t(n-1)$ 分布，原式不满足，选项D错误。