3.设X服从标准正态分布，求Y=|X|的概率密度.

考查要点：本题主要考查随机变量函数的概率密度求解方法，特别是绝对值变换下的处理方式，以及对标准正态分布性质的理解。

解题核心思路：

1. 分布函数法：通过定义求出$Y=|X|$的分布函数$F_Y(y)$，再对其求导得到概率密度$f_Y(y)$。
2. 对称性利用：标准正态分布的对称性简化计算，即$P(-y \leq X \leq y) = 2\Phi_0(y) - 1$。
3. 分段讨论：根据$Y$的取值范围$[0, +\infty)$，分$y > 0$和$y \leq 0$两种情况讨论。

破题关键点：

• 明确$Y=|X|$的取值范围为非负数，因此$y \leq 0$时概率密度为0。
• 利用标准正态分布的对称性，将双侧概率转化为单侧概率的两倍。
• 对分布函数求导时，注意系数的正确性。

步骤1：确定$Y$的取值范围
由于$Y = |X|$，显然$Y \geq 0$，因此当$y \leq 0$时，$f_Y(y) = 0$。

步骤2：求分布函数$F_Y(y)$
当$y > 0$时，
$F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(-y \leq X \leq y).$
利用标准正态分布的对称性，
$P(-y \leq X \leq y) = \Phi_0(y) - \Phi_0(-y) = 2\Phi_0(y) - 1,$
其中$\Phi_0(y)$为标准正态分布函数。

步骤3：对分布函数求导
对$F_Y(y)$求导得概率密度：
$f_Y(y) = \frac{d}{dy} F_Y(y) = \frac{d}{dy} \left( 2\Phi_0(y) - 1 \right) = 2\varphi_0(y),$
其中$\varphi_0(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{y^2}{2}}$为标准正态分布的密度函数。

步骤4：综合结果
当$y > 0$时，
$f_Y(y) = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{y^2}{2}} = \sqrt{\frac{2}{\pi}} e^{-\frac{y^2}{2}};$
当$y \leq 0$时，$f_Y(y) = 0$。